Question

17. Разложите функцию f (x) = 5x-1 в ряд Фурье в интервале (-5; 5).​

Answer 1

Ответ:

Надо найти формулы для коэффициентов Фурье an, bn

на заданном промежутке и посчитать соответствующие интегралы.

А затем вставить эти коэффициенты в сумму ряда.

Answer 2

Для разложения функции \( f(x) = 5x - 1 \) в ряд Фурье на интервале \((-5, 5)\), мы будем использовать следующие формулы:

1. Коэффициенты \(a_0, a_n, b_n\): \[ a_0 = \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x) \, dx, \quad a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \, dx, \quad b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \, dx \] где \(L\) - половина периода функции.

2. Разложение: \[ f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) + b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \right] \]

В данном случае, \(L = 5\) (половина периода). Посчитаем коэффициенты:

1. Вычисление коэффициентов: \[ a_0 = \frac{1}{10} \int_{-5}^{5} (5x - 1) \, dx = \frac{1}{10} \left[\frac{5}{2}x^2 - x\right]_{-5}^{5} = \frac{1}{10} \left[ \frac{125}{2} - 5 - \left(\frac{125}{2} + 5\right) \right] = -1 \]

\[ a_n = \frac{1}{5} \int_{-5}^{5} (5x - 1) \cos\left(\frac{n\pi x}{5}\right) \, dx \] Этот интеграл будет равен нулю для всех четных \(n\), так как \(f(x)\) — нечетная функция, исходя из этого \(a_n\) будет равен нулю для всех четных \(n\). Для нечетных \(n\) коэффициент \(a_n\) будет равен: \[ a_n = \frac{2}{5n\pi} \int_{-5}^{5} (5x - 1) \sin\left(\frac{n\pi x}{5}\right) \, dx \]

\[ b_n = \frac{1}{5} \int_{-5}^{5} (5x - 1) \sin\left(\frac{n\pi x}{5}\right) \, dx \] Аналогично, этот интеграл будет равен нулю для всех нечетных \(n\). Для четных \(n\) коэффициент \(b_n\) будет равен: \[ b_n = -\frac{2}{5n\pi} \int_{-5}^{5} (5x - 1) \cos\left(\frac{n\pi x}{5}\right) \, dx \]

2. Разложение в ряд Фурье: \[ f(x) = -1 + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{5}\right) \right] \]

Заметим, что коэффициент \(a_0\) уже включен в сумму для удобства записи. Теперь необходимо вычислить \(a_n\), \(b_n\) для каждого нечетного и четного \(n\), соответственно.

Этот процесс может быть трудоемким вручную, и обычно используются вычислительные средства для выполнения подобных задач.