Question

Составить уравнение касательной. y=(-1/3)x^3 x0=1

Answer 1

$y=- \frac{1}{3} x^{3}$
$x_{0}=1$
$y_{k}= y_{0} +y'( x_{0} )(x- x_{0} )$
$y'=- x^{2}$
$y'(1)=- (1)^{2} =-1$
$y_{k}=- \frac{1}{3} -1(x-1)$
$y_{k} =-x+ \frac{2}{3}$

Answer 2

Для составления уравнения касательной к кривой, необходимо знать координаты точки касания и угловой коэффициент касательной в этой точке. Для данной кривой y = (-1/3)x^3 + x₀ = 1, мы должны найти координаты точки касания и угловой коэффициент касательной в этой точке.

Нахождение координат точки касания

Первым шагом является нахождение значения x, когда y равно 1. Подставим это значение в уравнение: 1 = (-1/3)x^3 + x₀

Для простоты, мы предположим, что x₀ = 0. Тогда уравнение принимает следующий вид: 1 = (-1/3)x^3

Упростим это уравнение, чтобы найти значение x: 3 = -x^3 -x^3 = 3 x^3 = -3 x = -∛3

Таким образом, значение x, когда y равно 1, равно -∛3. Теперь мы знаем координату точки касания, которая состоит из x и y.

Нахождение углового коэффициента касательной

Угловой коэффициент касательной можно найти, взяв производную от исходной функции и подставив в нее значение x точки касания.

Дифференцируем исходную функцию y = (-1/3)x^3 + x₀: y' = d/dx [(-1/3)x^3 + x₀] y' = -x^2

Теперь мы можем найти угловой коэффициент, подставив значение x = -∛3 в y': m = -(-∛3)^2 m = -(-3^(1/3))^2 m = -(-3) m = 3

Таким образом, угловой коэффициент касательной равен 3.

Составление уравнения касательной

Теперь, когда у нас есть координаты точки касания (-∛3, 1) и угловой коэффициент (m = 3), мы можем использовать формулу уравнения прямой, чтобы составить уравнение касательной.

Уравнение касательной имеет вид: y - y₁ = m(x - x₁)

Подставим значения: y - 1 = 3(x - (-∛3))

Упростим уравнение: y - 1 = 3(x + ∛3) y - 1 = 3x + 3∛3 y = 3x + 3∛3 + 1

Таким образом, уравнение касательной к кривой y = (-1/3)x^3 + x₀ = 1 в точке (-∛3, 1) имеет вид y = 3x + 3∛3 + 1.