Question

Дано рівняння сторін трикутника АВ, ВС, АС. Скласти рівняння висоти АD, медіани АЕ і бісектриси АF та знайти їх довжини. Зробити рисунок. 5х-6у+19=0 (АВ) 8х-5у+12=0 (ВС) 3х+у+16=0 (АС)

Answer 1

Для розв'язання цього завдання спочатку знайдемо координати вершин трикутника. Запишемо систему рівнянь для визначення координат точок A, B і C:

\[ \begin{cases} 5x - 6y + 19 = 0 \\ 8x - 5y + 12 = 0 \\ 3x + y + 16 = 0 \end{cases} \]

Розв'яжемо цю систему:

1. Розв'язок для A: \[ \begin{cases} 5x - 6y + 19 = 0 \\ 8x - 5y + 12 = 0 \end{cases} \]

Розв'язавши цю систему, отримаємо координати точки A.

2. Розв'язок для B: \[ \begin{cases} 8x - 5y + 12 = 0 \\ 3x + y + 16 = 0 \end{cases} \]

Розв'язавши цю систему, отримаємо координати точки B.

3. Розв'язок для C: \[ \begin{cases} 5x - 6y + 19 = 0 \\ 3x + y + 16 = 0 \end{cases} \]

Розв'язавши цю систему, отримаємо координати точки C.

Тепер, коли маємо координати вершин трикутника, можемо знайти довжини висоти AD, медіани AE і бісектриси AF.

1. Висота AD проводиться з вершини A до протилежного ребра BC. Використовуємо формулу для відстані між точками: \[ AD = \frac{|Ax \cdot BBy - Ay \cdot BBx|}{\sqrt{(BBy - Ay)^2 + (BBx - Ax)^2}} \]

2. Медіана AE проводиться з вершини A до середини протилежного ребра BC. Медіана ділить протилежне ребро на дві рівні частини. Координати середини між B і C - це \( \left( \frac{Bx + Cx}{2}, \frac{By + Cy}{2} \right) \).

3. Бісектриса AF проводиться з вершини A до середини протилежного кута. Спочатку знайдемо координати середини протилежного кута. Координати середини між B і C дістаємо як у попередньому пункті.

Далі, знаходимо координати точки перетину бісектриси з протилежним ребром. Використовуємо рівняння прямої із формули: \[ AF: y - Ay = \frac{By - Ay}{Bx - Ax}(x - Ax) \]

Розв'язавши це рівняння разом із рівнянням протилежного ребра, знаходимо координати точки перетину.

Тепер, коли маємо координати точок A, B, C, можна підставити їх у вищенаведені формули і обчислити довжини висоти, медіани і бісектриси. Окресліть трикутник за допомогою цих точок, і побудуйте відповідні висоти, медіани і бісектриси.