Question

Рост взрослых мужчин является случайной величиной распределенной по нормальному закону Пусть математическое ожидание ее равно 170 см а дисперсия 36. Вычислить вероятность того что хотя бы один из четырех наудачу выбранных мужчин будет иметь рост от 168 до 180

Answer 1

Для нормального распределения случайной величины вероятность попасть в интервал (168; 180) определяется по формуле:
P=Ф((b-mₓ)/σˣ)-Ф((a-mₓ)/σₓ),
где σₓ - среднее квадратическое отклонение, равное √D (дисперсия)
P=Ф((180-170)/√36)-Ф((168-170)/√36)=Ф(5/3)+Ф(1/3)=
По таблице значений интегральной функции Лапласа находим Ф(1,67) и Ф(0,33)
=0,4525+0,1293=0,5818

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться стандартными нормализованными значениями и таблицей нормального распределения.

Дано: Математическое ожидание (μ) = 170 см Дисперсия (σ^2) = 36 Хотя бы один из четырех мужчин имеет рост от 168 до 180 см.

Чтобы решить эту задачу, мы сначала нормализуем значения роста, используя стандартное нормальное распределение. Для этого мы вычислим стандартное отклонение (σ) из дисперсии:

Стандартное отклонение (σ) = √дисперсия = √36 = 6

Затем мы вычислим значения Z-статистики для нижней (Z1) и верхней (Z2) границы роста:

Z1 = (168 - μ) / σ = (168 - 170) / 6 = -0.3333 Z2 = (180 - μ) / σ = (180 - 170) / 6 = 1.6667

Теперь, используя таблицу нормального распределения или программу для вычисления площади под кривой, мы можем найти вероятность P(Z ≤ Z1) и P(Z ≤ Z2):

P(Z ≤ Z1) ≈ 0.3707 P(Z ≤ Z2) ≈ 0.9525

Так как мы ищем вероятность, что хотя бы один из четырех мужчин будет иметь рост от 168 до 180 см, мы должны вычислить комплиментарную вероятность. Это означает, что мы вычитаем вероятность того, что ни один из четырех мужчин не будет иметь рост от 168 до 180 см из 1:

P(хотя бы один мужчина имеет рост от 168 до 180 см) = 1 - P(ни один мужчина не имеет рост от 168 до 180 см)

P(ни один мужчина не имеет рост от 168 до 180 см) = (P(Z ≤ Z1))^4 ≈ (0.3707)^4 ≈ 0.0172

P(хотя бы один мужчина имеет рост от 168 до 180 см) ≈ 1 - 0.0172 ≈ 0.9828

Таким образом, вероятность того, что хотя бы один из четырех наудачу выбранных мужчин будет иметь рост от 168 до 180 см, составляет примерно 0.9828 или 98.28%.