Question

7*x + 11y = 15 Вирішіть у кільці лишків за модулем 17

Answer 1

Давайте розв'яжемо це рівняння разом. Ми маємо рівняння 7x + 11y = 15, і ми хочемо знайти значення x і y в кільці лишків за модулем 17.

Щоб розв'язати це рівняння, ми можемо використати методи лінійного діофантового рівняння. Один з підходів - це використовувати алгоритм Евкліда для знаходження оберненого елемента за модулем 17.

Знаходження оберненого елемента за модулем 17

Щоб знайти обернений елемент за модулем 17, ми можемо використати алгоритм Евкліда. За допомогою цього алгоритму ми знаходимо найбільший спільний дільник (НСД) між 17 і 7. Якщо НСД дорівнює 1, тоді 7 має обернений елемент за модулем 17.

Використовуючи алгоритм Евкліда, ми отримуємо:

17 = 2 * 7 + 3 7 = 2 * 3 + 1

Таким чином, НСД між 17 і 7 дорівнює 1. Це означає, що 7 має обернений елемент за модулем 17.

Знаходження значень x і y

Тепер, коли ми знаходимо обернений елемент за модулем 17, ми можемо використати його, щоб знайти значення x і y.

Ми маємо рівняння 7x + 11y = 15. Щоб знайти значення x і y, ми можемо помножити обидві частини рівняння на обернений елемент за модулем 17.

Обернений елемент за модулем 17 для числа 7 дорівнює 5, оскільки 7 * 5 ≡ 1 (mod 17).

Множимо обидві частини рівняння на 5:

5 * (7x + 11y) ≡ 5 * 15 (mod 17) 35x + 55y ≡ 75 (mod 17)

Тепер ми можемо спростити це рівняння:

1x + 4y ≡ 11 (mod 17)

Тепер ми маємо нове рівняння 1x + 4y ≡ 11 (mod 17), яке ми можемо вирішити, використовуючи методи лінійного діофантового рівняння.

Вирішення рівняння

Щоб вирішити рівняння 1x + 4y ≡ 11 (mod 17), ми можемо використати методи лінійного діофантового рівняння. Один з підходів - це використовувати розширений алгоритм Евкліда.

Використовуючи розширений алгоритм Евкліда, ми отримуємо:

17 = 4 * 4 + 1 4 = 4 * 1 + 0

Тепер ми можемо використовувати зворотні підстановки, щоб знайти значення x і y.

Замінюємо 1 на 17 - 4 * 4:

17 - 4 * 4 = 1

Тепер ми можемо помножити обидві частини на 11:

11 * (17 - 4 * 4) ≡ 11 * 1 (mod 17) 11 * 17 - 44 * 4 ≡ 11 (mod 17)

Тепер ми можемо спростити це рівняння:

11x - 44y ≡ 11 (mod 17)

Таким чином, ми отримали рівняння 11x - 44y ≡ 11 (mod 17), яке ми можемо вирішити, використовуючи методи лінійного діофантового рівняння.

Знаходження значень x і y (продовження)

Щоб вирішити рівняння 11x - 44y ≡ 11 (mod 17), ми можемо використати методи лінійного діофантового рівняння.

Використовуючи розширений алгоритм Евкліда, ми отримуємо:

44 = 4 * 11 + 0

Таким чином, ми бачимо, що 11 є оберненим елементом за модулем 17 для числа 44.

Тепер ми можемо помножити обидві частини рівняння на 11:

11 * (11x - 44y) ≡ 11 * 11 (mod 17) 121x - 484y ≡ 121 (mod 17)

Тепер ми можемо спростити це рівняння:

3x - 7y ≡ 14 (mod 17)

Таким чином, ми отримали рівняння 3x - 7y ≡ 14 (mod 17), яке ми можемо вирішити, використовуючи методи лінійного діофантового рівняння.

Знаходження значень x і y (продовження)

Щоб вирішити рівняння 3x - 7y ≡ 14 (mod 17), ми можемо використати методи лінійного діофантового рівняння.

Використовуючи розширений алгоритм Евкліда, ми отримуємо:

17 = 2 * 7 + 3 7 = 2 * 3 + 1 3 = 3 * 1 + 0

Таким чином, ми бачимо, що 3 є оберненим елементом за модулем 17 для числа 7.

Тепер ми можемо помножити обидві частини рівняння на 3:

3 * (3x - 7y) ≡ 3 * 14 (mod 17) 9x - 21y ≡ 42 (mod 17)

Тепер ми можемо спростити це рівняння:

9x + 13y ≡ 8 (mod 17)

Таким чином, ми отримали рівняння 9x + 13y ≡ 8 (mod 17), яке ми можемо вирішити, використовуючи методи лінійного діофантового рівняння.

Знаходження значень x і y (продовження)

Щоб вирішити рівняння 9