Question

В параллелограмме ABCD угол при вершине A равен 60∘, AB=69 и BC=81. Биссектриса угла ABC пересекает отрезок AD в точке E, а луч CD — в точке F. Найдите длину отрезка EF.

Answer 1

Ответ:

12

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами параллелограмма.

Из условия задачи известно, что угол при вершине A равен 60°, AB = 69 и BC = 81.

Так как AD и BC параллельны, то углы ABC и ADC смежные, следовательно, они дополняют друг друга до 180°. Значит, угол ABC = 180° - 60° = 120°.

Теперь рассмотрим треугольник BAE. Биссектриса угла ABC делит сторону BC на отрезки BE и CE. Пусть BE = x и CE = y. Тогда, в силу свойств биссектрисы, отношение длин отрезков BE и CE равно отношению длин сторон AB и AC, т.е. x/y = AB/AC = 69/81.

Аналогично, рассмотрев треугольник CDF, получаем, что CF/DF = BC/CD = 81/81 = 1. Значит, CF = DF.

Так как EF является продолжением отрезка FC, то длина отрезка EF равна сумме длин отрезков CF и FE. Из предыдущего пункта мы знаем, что CF = DF, поэтому длина отрезка EF равна 2*CF.

Чтобы найти длину CF и длину FE, рассмотрим треугольники AEF и CEF.

В треугольнике AEF у нас есть известный угол EAF, равный половине угла ABC, т.е. 60°/2 = 30°. Также известны длины сторон AE и AF, которые равны AD и AB соответственно. АД = АВ + ВС = 69 + 81 = 150. Т.к. треугольник AEF является прямоугольным и угол EAF равен 30°, то катет AF = AD * sin(30°) = 150*sin(30°) = 75. Катет AE = AD * cos(30°) = 150*cos(30°) = 129,9.

Теперь рассмотрим треугольник CEF. Из условия задачи известно, что FC = DF = BC = 81. Катет CE = CD - DE = BC - AE = 81 - 129,9 = -48,9.

Теперь мы можем посчитать длину EF = CF + FE = 2*CF = 2*sqrt(CD^2 + DE^2).

CD^2 = CF^2 = 81^2 = 6561 DE^2 = CE^2 = (-48,9)^2 = 2395,21

EF = 2*sqrt(6561 + 2395,21) = 2*sqrt(8956,21) ≈ 2*94,66 ≈ 189,32

Итак, длина отрезка EF составляет около 189,32.