Question

СРОЧНО!! Помогите решить задачу из олимпиады по математике 9 класс. Три школьника сделали по два утверждения про натуральные числа a, b,c: Антон:1) a+b+c=34, 2) abc=56 Борис:1) ab+bc+ac=311 2)наименьшее из чисел равно 5 Настя:1) a=b=c 2) числа a, b и c - простояв. У каждого школьника оно утверждение верное, а другое - нет. Найти числа a,b,c.

Answer 1

Рассмотрим утверждения Насти. Если a=b=c, то оба утверждения Антона ложны. Потому что сумма 34 не делится на 3 и произведение 56 не является кубом. Значит, верно второе утверждение Насти - все числа простые.
Теперь посмотрим, что сказал Антон. 56=7*2*4, оно не раскладывается на три простых. Значит, a+b+c=34. Попытаемся найти числа.
Если сумма трёх простых чисел четна, то одно число четно, а два нет. Значит, одно из чисел равно 2, и утверждение Бориса, что наименьшее число 5 - ложно.
34=2+3+29=2+5+27=2+7+25= 2+11+21=2+13+19
Из всех вариантов только у тройки (2,13,19) произведение
ab+ac+bc=2*13+2*19+13*19=311
Ответ: 2, 13, 19

Answer 2

Давайте начнем с того, что у нас есть система уравнений, которые были сделаны каждым из трех школьников.

Антон: 1) a + b + c = 34, 2) abc = 56

Борис: 1) ab + bc + ac = 311, 2) наименьшее из чисел равно 5

Настя: 1) a = b = c, 2) числа a, b и c - простые.

Давайте начнем с того, что мы можем использовать уравнение Антона для нахождения значений a, b и c. Мы можем заметить, что 56 = 1 * 7 * 8, так что a, b и c могут быть 1, 7 и 8 (или их перестановки). Теперь мы можем использовать уравнение Бориса, чтобы убедиться, что это подходит. Мы видим, что наименьшее из чисел равно 5, что подходит под наше предположение.

Теперь мы можем использовать уравнение Насти, чтобы убедиться, что числа a, b и c - простые. Мы видим, что 1, 7 и 8 - простые числа, так что это подходит под наше решение.

Итак, числа a, b и c равны 1, 7 и 8.

Надеюсь, это поможет вам решить задачу.