Question

Практическое занятие № 7 Задание. Даны координаты четырех точек А (х1; у1; z1), В (х2; у2; z2), С (х3; у3; z3), D (х4; у4; z4). Необходимо найти: 1) уравнение плоскости Q, проходящей через точки А, В, С; 2) канонические уравнения прямой АВ; 3) уравнение плоскости G, проходящей через точку D перпендикулярно прямой АВ; 4) расстояние от точки D до плоскости Q. 5. А (–6; –4; 2); В (5; –2; –1); С (5; 6; –4); D (2; 8; 6);

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1)уравнение плоскости Q, проходящей через точки

А (–6; –4; 2);

В (5; –2; –1);

С (5; 6; –4);

для составления уравнения плоскости используем формулу

$\left[\begin{array}{ccc}x-z_A&y-y_A&z-z_A\\x_B-x_A&y_B-y_A&z_B-z_A\\x_C-x_A&y_C-y_A&z_C-z_A\end{array}\right] =0$

$\left[\begin{array}{ccc}x-(-6)&y-(-4)&z-2\\5-(-5)&(-2)-(-4)&-1-2\\5-(-6)&6-(-4)&-4-2\end{array}\right] =0$

(x -(-6))(2*(-6) - (-3)*10) - (y -(-4))(11*(-6) -(-3)*11 ) + (z -2)(11*10 -2*11) = 0

18(x -(-6)) + 33(y - (-4)) +  88(z - 2) = 0

и вот мы получаем уравнение плоскости Q

Q : 18x + 33y + 88z +64 = 0

2) канонические уравнения прямой АВ.  А(–6; –4; 2); В(5; –2; –1);

формула канонического уравнения прямой

$\frac{x-x_A}{x_B-x_A} =\frac{y-y_A}{y_B-y_A} =\frac{z-z_A}{z_B-z_A}$

наша формула прямой

$\frac{x+6}{11} =\frac{y+4}{2} =\frac{z-2}{-3}$

3) уравнение плоскости G, проходящей через точку D(2; 8; 6) перпендикулярно прямой АВ

будем искать прямую в виде $A(x-x_D)+B(y-y_D)+C(z-z_D)=0$

здесь А, В, С - координаты направляющего вектора.

поскольку G ⊥ АВ, то нормаль АВ будет направляющим вектором для G ⇒ s = n = (11, 2, -3)

и вот формула

G : 11y + 2y - 3z -20 =0

4) расстояние от точки D(2; 8; 6) до плоскости Q : 18x + 33y + 88z +64=0

для расчета нам потребуется

А = 18;  В = 33;  С = 88;  D = 64;

$d=\frac{IA*D_A+B*D_e+C*d_z+DI}{\sqrt{A^2+B^2+C^2} }$

$d=\frac{18*2+33*8+88*6+64}{\sqrt{18^2+33^2+88^2} } =\frac{892}{\sqrt{9157} } =\frac{892\sqrt{9157} }{9157}$

Answer 2

Для решения данной задачи нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем уравнение плоскости Q, проходящей через точки A, B и C. 2. Найдем канонические уравнения прямой AB. 3. Найдем уравнение плоскости G, проходящей через точку D и перпендикулярной прямой AB. 4. Рассчитаем расстояние от точки D до плоскости Q.

Давайте начнем с первого шага.

1. Уравнение плоскости Q, проходящей через точки A, B и C.

Уравнение плоскости можно записать в общем виде Ax + By + Cz + D = 0, где (A, B, C) - нормальный вектор плоскости, и D - свободный член. Нормальный вектор можно найти как векторное произведение векторов AB и AC:

AB = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) = (5 - (-6), -2 - (-4), (-1) - 2) = (11, 2, -3) AC = (x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1) = (5 - (-6), 6 - (-4), (-4) - 2) = (11, 10, -6)

Теперь найдем нормальный вектор плоскости:

N = AB × AC = (2*(-6) - (-3)*10, -3*11 - 2*(-6), 11*10 - 2*11) = (-12 + 30, -33 + 12, 110 - 22) = (18, -21, 88)

Теперь, чтобы найти уравнение плоскости Q, подставим координаты одной из точек (например, A) и нормальный вектор N:

18x - 21y + 88z + D = 0

Чтобы найти D, подставим координаты точки A:

18*(-6) - 21*(-4) + 88*2 + D = 0 -108 + 84 + 176 + D = 0 D = -52

Итак, уравнение плоскости Q:

18x - 21y + 88z - 52 = 0

2. Канонические уравнения прямой AB.

Для нахождения канонических уравнений прямой AB, нам нужно найти направляющий вектор этой прямой. Направляющий вектор можно получить из вектора AB:

AB = (11, 2, -3)

Теперь мы можем записать канонические уравнения прямой AB:

x = x1 + At y = y1 + Bt z = z1 + Ct

где (x1, y1, z1) - координаты точки A, и (A, B, C) - компоненты направляющего вектора AB.

3. Уравнение плоскости G, проходящей через точку D и перпендикулярной прямой AB.

Поскольку плоскость G должна быть перпендикулярной прямой AB, её нормальный вектор должен быть параллелен направляющему вектору прямой AB. Таким образом, нормальный вектор плоскости G будет равен (A, B, C) = (11, 2, -3).

Теперь, чтобы найти уравнение плоскости G, подставим координаты точки D и нормальный вектор (A, B, C):

11x + 2y - 3z + D' = 0

Чтобы найти D', подставим координаты точки D:

11*2 + 2*8 - 3*6 + D' = 0 22 + 16 - 18 + D' = 0 D' = -20

Итак, уравнение плоскости G:

11x + 2y - 3z - 20 = 0

4. Расстояние от точки D до плоскости Q.

Расстояние от точки D до плоскости Q можно найти с использованием формулы:

d = |Ax + By + Cz + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)

Где (A, B, C) - нормальный вектор плоскости Q, (x, y, z) - координаты точки D, и D - свободный член плоскости Q.

Подставим значения:

A = 18, B = -21, C = 88, D = -52 x = 2, y = 8, z = 6

d = |18*2 - 21*8 + 88*6 - 52| / √(18^2 + (-21)^2 + 88^2)

d = |36 - 168 + 528 - 52| / √(324 + 441 + 7744)

d = |344| / √8509

d ≈ 20.63

Итак, расстояние от точки D до плоскости Q около 20.63 единиц.