Question

При каком наибольшем натуральном n число n!+5n+58 является точным квадратом? (n!=1⋅2⋅…⋅n — произведение всех натуральных чисел то 1 до n)

Answer 1

при n=1

так как 1!=1, следовательно, 1!+5*1+58=64=8^2

 

Answer 2

Для того чтобы найти наибольшее натуральное число n, при котором n! + 5n + 58 является точным квадратом, мы можем использовать перебор.

Сначала выразим n! в виде произведения: n! = 1*2*3*...*n.

Теперь нам нужно найти такое n, при котором n! + 5n + 58 = k^2, где k - натуральное число.

Начнем перебор с n = 1 и будем увеличивать n, пока не найдем такое n, при котором n! + 5n + 58 является точным квадратом.

n=1: 1! + 5*1 + 58 = 64, не является точным квадратом. n=2: 2! + 5*2 + 58 = 68, не является точным квадратом. n=3: 3! + 5*3 + 58 = 74, не является точным квадратом. n=4: 4! + 5*4 + 58 = 88, не является точным квадратом. n=5: 5! + 5*5 + 58 = 123, не является точным квадратом. n=6: 6! + 5*6 + 58 = 194, не является точным квадратом. n=7: 7! + 5*7 + 58 = 403, не является точным квадратом. n=8: 8! + 5*8 + 58 = 776, не является точным квадратом. n=9: 9! + 5*9 + 58 = 146, не является точным квадратом. n=10: 10! + 5*10 + 58 = 538, не является точным квадратом. n=11: 11! + 5*11 + 58 = 1550, не является точным квадратом. n=12: 12! + 5*12 + 58 = 6008, не является точным квадратом.

Таким образом, мы видим, что при n=9, n! + 5n + 58 равно 146, что является точным квадратом (12^2 = 144). Следовательно, наибольшее натуральное число n, при котором n! + 5n + 58 является точным квадратом, равно 9.