Question

Найти предел sin^3 2x/5x^3

Answer 1

Вот и решение.
$\lim_{x \to 0}\frac{sin^{3}2x }{5x^{3} } =\lim_{x \to 0}\frac{8sin^{3}2x }{5(2x)^{3} } =\lim_{x \to 0}\frac{8 }{5} *\lim_{x \to 0}(\frac{sin 2x }{2x})^{3} =\\= \frac{8}{5} * 1^{3} =\frac{8}{5}$

Answer 2

Для нахождения предела функции sin^3(2x)/(5x^3), нам нужно анализировать поведение функции при приближении x к определенному значению. Давайте разберемся подробнее.

Предел функции

Предел функции f(x) при x, стремящемся к определенному значению a, обозначается как: ``` lim(x->a) f(x) ``` Если предел существует, то значение функции f(x) будет стремиться к этому пределу по мере приближения x к a.

Нахождение предела sin^3(2x)/(5x^3)

Для нахождения предела sin^3(2x)/(5x^3), мы можем использовать алгебраические свойства пределов функций.

Сначала заметим, что функция sin^3(2x) может быть переписана в виде (sin(2x))^3.

Теперь мы можем использовать следующее свойство пределов: ``` lim(x->a) [f(x) * g(x)] = lim(x->a) f(x) * lim(x->a) g(x) ``` если оба предела существуют.

Применим это свойство к нашей функции sin^3(2x)/(5x^3): ``` lim(x->0) [sin^3(2x)/(5x^3)] = lim(x->0) [sin(2x)/x]^3 * 1/5 ``` Мы разделили на x^3 и переместили (sin(2x)/x)^3 в предел.

Обратите внимание, что предел sin(2x)/x при x, стремящемся к 0, является классическим пределом и равен 2.

Тогда наш предел примет следующий вид: ``` lim(x->0) [sin^3(2x)/(5x^3)] = lim(x->0) [sin(2x)/x]^3 * 1/5 = 2^3 * 1/5 = 8/5 ```

Ответ

Предел функции sin^3(2x)/(5x^3) при x, стремящемся к 0, равен 8/5.