Question

Найти частное решение дифференциального уравнения у,=-2у , удовлетворяющее начальному условию у(0)=2

Answer 1

Составляем характеристическое уравнение:

k2–2k+1=0

k1=k2=1 – корни кратные действительные.

Общее решение:

y=C1ex+C2·x·ex

Находим

y`=С1·(ex)`+C2·(x·ex)`

y`=C1ex+C2x`ex+C2x·(ex)`

y`=C1ex+C2ex+C2x·ex

y`(0)=3

3=C1e0+C2·e0+0

y(0)=1

1=C1e0+C2·0

C1=1

3=1+C2

C2=2

Answer 2

Для того чтобы найти частное решение дифференциального уравнения у' = -2у, удовлетворяющее начальному условию у(0) = 2, мы можем воспользоваться методом разделения переменных. Этот метод позволяет разделить переменные, переместив все элементы с у на одну сторону уравнения, а все элементы с t (независимой переменной) на другую сторону уравнения.

Данное дифференциальное уравнение имеет вид: dy/dt = -2y

Теперь мы можем разделить переменные, переместив все элементы с у на левую сторону, а все элементы с t на правую сторону:

dy/y = -2 dt

Теперь мы можем проинтегрировать обе стороны уравнения:

∫(1/y) dy = ∫(-2) dt

Интегрируя левую сторону, получим логарифмическую функцию:

ln|y| = -2t + C

где C - произвольная постоянная интеграции. Теперь давайте избавимся от модуля, взяв экспоненту от обеих сторон уравнения:

|y| = e^(-2t + C)

Следующим шагом мы можем заметить, что модуль |y| эквивалентен просто y, так как начальное условие указывает, что у(0) = 2, и у находится вне модуля. Теперь у наше уравнение выглядит следующим образом:

y = e^(-2t + C)

Теперь мы можем использовать начальное условие у(0) = 2, чтобы найти значение константы C:

2 = e^(-2*0 + C) 2 = e^C

Теперь возьмем натуральный логарифм от обеих сторон уравнения:

ln(2) = ln(e^C) ln(2) = C

Теперь, зная значение C, мы можем подставить его обратно в уравнение:

y = e^(-2t + ln(2))

y = 2e^(-2t)

И вот частное решение дифференциального уравнения у' = -2у, удовлетворяющее начальному условию у(0) = 2:

y(t) = 2e^(-2t)