Question

Вычислить площадь фигуры,ограниченной заданными линиями: 1)y= -x^2+4,y=0 2)y=√x,y=2,x=0

Answer 1

Первая фигура:
$\displaystyle 0=-x^2+4 \implies x=-2\lor 2;$
$\displaystyle S=\int\limits_{-2}^2\bigg(-x^2+4\bigg)dx=-\int\limits_{-2}^2 x^2 dx + 4\int\limits_{-2}^2 dx=-\Big(\frac{x^2}{2}\Big)\bigg|_{-2}^2+4x\bigg|_{-2}^2=-\frac{2^2}{2}+\frac{(-2)^2}{2}+4(2+2)=-2+2+4\cdot 4=16.$

Вторая фигура:
$\displaystyle 2=\sqrt{x} \implies x=4;$
$\displaystyle{S=2\cdot 4-\int\limits_0^4 \sqrt{x}dx=8-\Big(\frac{2}{3}x^{3/2}\Big)\bigg|_0^4=8-\frac{2}{3}\sqrt{4^3}=8-\frac{2}{3}8=\frac{8}{3}.}$

Вместо графиков использовалось воображение. :)

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной заданными линиями, мы можем использовать интегралы. В данном случае у нас есть две заданные линии.

Линии y = -x^2 + 4 и y = 0

На первом этапе мы найдем точки пересечения этих двух линий. Для этого приравняем выражения для y:

-x^2 + 4 = 0

Решим это уравнение:

x^2 = 4

x = ±2

Таким образом, эти две линии пересекаются в точках (-2, 0) и (2, 0).

Линии y = √x, y = 2 и x = 0

На втором этапе мы найдем точки пересечения этих трех линий. Заметим, что вторая линия y = 2 является горизонтальной прямой, а третья линия x = 0 - вертикальной прямой.

Для первых двух линий приравняем выражения для y:

√x = 2

x = 4

Таким образом, эти две линии пересекаются в точке (4, 2).

Итак, у нас есть три точки пересечения: (-2, 0), (2, 0) и (4, 2). Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной этими линиями, мы можем использовать интегралы.

Площадь фигуры будет равна сумме площадей под кривыми между соответствующими точками пересечения.

Вычисление площади под кривой y = -x^2 + 4

Интегрируем функцию y = -x^2 + 4 от -2 до 2:

∫[-2,2] (-x^2 + 4) dx

Интеграл этой функции можно вычислить следующим образом:

∫[-2,2] (-x^2 + 4) dx = [-x^3/3 + 4x] [-2,2]

Вычислим его:

[-(2^3)/3 + 4(2)] - [(-2^3)/3 + 4(-2)]

= [-8/3 + 8] - [-8/3 - 8]

= 16/3 + 8/3

= 24/3

= 8

Вычисление площади под кривой y = √x

Интегрируем функцию y = √x от 2 до 4:

∫[2,4] √x dx

Интеграл этой функции можно вычислить следующим образом:

∫[2,4] √x dx = [2/3 * x^(3/2)] [2,4]

Вычислим его:

[2/3 * 4^(3/2)] - [2/3 * 2^(3/2)]

= [2/3 * 8] - [2/3 * 2 * √2]

= 16/3 - 4/3 * √2

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна сумме площади под кривой y = -x^2 + 4 и площади под кривой y = √x:

8 + 16/3 - 4/3 * √2

≈ 12.86

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, приблизительно равна 12.86.