Question

Решите диф. уравнение (2*x*y* + 3*y^2 )dx + (x^2 + 6*x*y - 3y^2 )dy = 0

Answer 1

Ответ:

2-2+4-3+65588+15455+68458

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения первого порядка вида:

\[ (2xy + 3y^2)dx + (x^2 + 6xy - 3y^2)dy = 0 \]

можем воспользоваться методом, основанным на поиске интегрирующего множителя. Для этого проверим условие замкнутости:

\[ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} \]

где функция M(x, y) соответствует коэффициенту при dx, а функция N(x, y) — при dy.

Исходя из уравнения:

\[ M(x, y) = 2xy + 3y^2 \]

\[ N(x, y) = x^2 + 6xy - 3y^2 \]

вычислим частные производные:

\[ \frac{\partial M}{\partial y} = 2x + 6y \]

\[ \frac{\partial N}{\partial x} = 2x + 6y \]

Обе производные равны, следовательно, данное уравнение является замкнутым.

Далее, нам необходимо найти такую функцию \(\mu(x, y)\), что при умножении уравнения на неё, оно станет полным дифференциалом. Для этого используем уравнение:

\[ \frac{d\mu}{\mu} = \frac{1}{M} \frac{\partial M}{\partial y} dx - \frac{1}{N} \frac{\partial N}{\partial x} dy \]

где M и N определены выше.

Вычислим значения:

\[ \frac{1}{M} \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{2x + 6y}{2xy + 3y^2} \]

\[ \frac{1}{N} \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{2x + 6y}{x^2 + 6xy - 3y^2} \]

Заметим, что знаменатели в обоих выражениях не сократятся, поэтому выберем их произведение в качестве \(\mu(x, y)\):

\[ \mu(x, y) = M*N = (2xy + 3y^2)(x^2 + 6xy - 3y^2) \]

Умножим исходное уравнение на \(\mu(x, y)\) и затем проинтегрируем обе части:

\[ (2xy + 3y^2)(x^2 + 6xy - 3y^2)dx + (x^2 + 6xy - 3y^2)(2xy + 3y^2)dy = 0 \]

Далее следует интегрирование обеих частей уравнения, чтобы найти общее решение данного дифференциального уравнения.