Question

Y"-4y'+4y=0, y(0)=-1, y'(0)=2

Answer 1

Ответ:

y = e²ˣ

Пошаговое объяснение:

λ² - 4λ + 4 = 0

(λ-2)² = 0

λ = 2 - кратный корень

y = C₁e²ˣ + C₂xe²ˣ

y(0) = C₁ = 1

y'(x) = 2C₁e²ˣ + C₂e²ˣ + 2C₂xe²ˣ

y'(0) = 2C₁ + C₂ = 2 => C₂ = 0

y = e²ˣ

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение является линейным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Давайте решим его. Чтобы решить это уравнение, начнем с поиска характеристического уравнения. Для этого заменим производные на символы и получим: Y - 4Y' + 4Y = 0 Заметим, что это уравнение имеет постоянные коэффициенты. Поэтому, для его решения, предположим, что искомая функция Y имеет вид Y = e^(rx), где r - некоторая константа. Подставим это предположение в исходное уравнение и получим: e^(rx) - 4re^(rx) + 4e^(rx) = 0 Факторизуем это уравнение: (e^(rx))(1 - 4r + 4) = 0 Упростим его: (e^(rx))(r - 2)^2 = 0 Теперь мы имеем характеристическое уравнение: (r - 2)^2 = 0 Отсюда находим два корня: r = 2 (корень кратности 2). Таким образом, общее решение уравнения имеет вид: Y(x) = C1e^(2x) + C2xe^(2x), где C1 и C2 - произвольные постоянные. Теперь мы можем использовать начальные условия y(0) = -1 и y'(0) = 2, чтобы найти конкретное решение. Подставим x = 0 в общее решение и получим: y(0) = C1e^(2*0) + C2*0*e^(2*0) = C1 Отсюда получаем C1 = -1. Теперь продифференцируем общее решение и подставим x = 0: y'(x) = 2C1e^(2x) + C2e^(2x) + 2C2xe^(2x) y'(0) = 2C1e^(2*0) + C2e^(2*0) + 2C2*0*e^(2*0) = 2C1 + C2 Отсюда получаем 2C1 + C2 = 2. Подставим C1 = -1 и решим это уравнение относительно C2: 2*(-1) + C2 = 2 C2 = 4 Таким образом, конкретное решение уравнения имеет вид: y(x) = -e^(2x) + 4xe^(2x). Это и есть ответ на данное дифференциальное уравнение с заданными начальными условиями.