Question

Составить уравнение касательной к параболе y=x^2+2x-8

Answer 1

y=x^2+2x-8=f(x)

x0=2

уравнение касательной: y=f(x0) + f`(x0)(x-x0)

f(x0) = f(2) =2^2+2*2-8=4+4-8=0

f`(x)=2x+2

f`(2)=2*2+2=6

подставляем всё в уравнение касательной:

y=6(x-2)=6x-12

Answer 2

Для того чтобы составить уравнение касательной к параболе, нам понадобится некоторое дифференциальное исчисление. Давайте начнем с нахождения производной параболы y = x^2 + 2x - 8.

Нахождение производной параболы

Для нахождения производной функции y = x^2 + 2x - 8, мы можем использовать правила дифференцирования. Производная функции показывает, как быстро меняется значение функции в зависимости от изменения аргумента.

Для функции вида y = ax^2 + bx + c, производная будет равна dy/dx = 2ax + b. Применяя это правило к нашей функции, получаем:

dy/dx = 2x + 2

Нахождение точки касания

Чтобы найти точку касания, нам нужно определить значение x, при котором касательная проходит через параболу. Для этого мы должны приравнять значение производной к нулю и решить полученное уравнение:

2x + 2 = 0

Вычитаем 2 с обеих сторон:

2x = -2

Делим на 2:

x = -1

Теперь, чтобы найти соответствующее значение y, мы можем подставить найденное значение x в исходную параболу:

y = (-1)^2 + 2(-1) - 8

y = 1 - 2 - 8

y = -9

Таким образом, точка касания параболы y = x^2 + 2x - 8 с касательной будет (-1, -9).

Составление уравнения касательной

Теперь, когда у нас есть точка касания (-1, -9), мы можем использовать эту информацию для составления уравнения касательной. Уравнение касательной к кривой в точке (a, b) имеет вид y - b = m(x - a), где m - это наклон касательной.

Мы уже нашли точку касания (-1, -9), поэтому a = -1 и b = -9. Нам нужно найти наклон касательной, который равен значению производной функции в точке касания:

m = dy/dx = 2x + 2

Подставляем x = -1:

m = 2(-1) + 2

m = -2 + 2

m = 0

Теперь у нас есть все необходимые значения для составления уравнения касательной:

y - (-9) = 0(x - (-1))

y + 9 = 0

y = -9

Таким образом, уравнение касательной к параболе y = x^2 + 2x - 8 в точке (-1, -9) будет y = -9.

Надеюсь, это помогло! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.