Question

Найдите разность четырнадцатого и одиннадцатого членов геометрической прогрессии если их сумма =28,а произведение третьего и двадцать второго членов этой прогрессии равно 75

Answer 1

b3 = b1 * q^2

b22 = b1 * q^21

 

b14 + b11 = 28

75 = b3 * b22 = (b1*q^2) * (b1*q^21) = b1*b1*q^23 = (b1*q^10) * (b1*q^13) = b11 * b14

 

(b14 - b11)^2 = b14^2 - 2*b14*b11 + b11^2 = b14^2 + 2*b14*b11 + b11^2 - 4*b14*b11 =

= (b14 + b11)^2 - 4*b11*b14 = 28^2 - 4*75 = 784 - 300 = 484

 

b14 - b11 = sqrt(484) = 22

Answer 2

Давайте решим эту задачу шаг за шагом. У нас есть геометрическая прогрессия, в которой мы ищем разность между 14-м и 11-м членами. Мы также знаем, что сумма этих двух членов равна 28, а произведение третьего и двадцать второго членов равно 75.

Пусть первый член геометрической прогрессии будет a, а знаменатель прогрессии будет q.

Найдем сумму 14-го и 11-го членов

Сумма 14-го и 11-го членов геометрической прогрессии может быть выражена следующим образом:

S14 = a * (q^13) / (q - 1) S11 = a * (q^10) / (q - 1)

Мы знаем, что S14 + S11 = 28. Подставим значения и решим уравнение:

a * (q^13) / (q - 1) + a * (q^10) / (q - 1) = 28

Теперь мы имеем уравнение, в котором есть две переменные a и q. Чтобы решить его, нам нужно использовать второе условие, которое говорит, что произведение третьего и двадцать второго членов равно 75.

Найдем произведение третьего и двадцать второго членов

Произведение третьего и двадцать второго членов геометрической прогрессии может быть выражено следующим образом:

a * (q^2) * a * (q^21) = a^2 * (q^23) = 75

Теперь у нас есть два уравнения с двДля решения этой задачи воспользуемся формулами для суммы и произведения членов геометрической прогрессии.

Нахождение суммы и произведения членов геометрической прогрессии

Для геометрической прогрессии с общим знаменателем \( q \) сумма первых \( n \) членов выражается формулой:

\[ S_n = a \frac{{q^n - 1}}{{q - 1}} \]

где \( a \) - первый член прогрессии, \( q \) - знаменатель прогрессии.

Произведение первых \( n \) членов геометрической прогрессии:

\[ P_n = a^n q^{\frac{{n(n-1)}}{2}} \]

Решение

Из условия задачи известно, что сумма \( S \) четырнадцатого и одиннадцатого членов прогрессии равна 28, а произведение третьего и двадцать второго членов равно 75.

Давайте обозначим четырнадцатый член как \( a_{14} \), одиннадцатый член как \( a_{11} \), третий член как \( a_3 \) и двадцать второй член как \( a_{22} \).

Тогда у нас есть следующие уравнения:

\[ a_{14} + a_{11} = 28 \]

\[ a_3 \cdot a_{22} = 75 \]

Нахождение членов геометрической прогрессии

Найдем отношение между соседними членами геометрической прогрессии \( q \):

\[ q = \sqrt[14-11]{\frac{a_{14}}{a_{11}}} \]

Теперь можем найти члены прогрессии:

\[ a_{14} = a_{11}q^3 \]

и

\[ a_3 = \frac{\sqrt[22-3]{a_{22}}}{q^{19}} \]

Нахождение разности членов

Теперь найдем разность между четырнадцатым и одиннадцатым членами прогрессии:

\[ a_{14} - a_{11} = a_{11}q^3 - a_{11} \]

Решение численного примера

Подставим значения \( a_{11} \) и \( q \) в формулы для \( a_{14} \) и \( a_3 \), затем найдем разность \( a_{14} - a_{11} \).

После этого получим конечный ответ.