Question

Третий член геометрической прогрессии равен 9/16, а второй больше пятого в 64 раза. Найти знаменатель прогрессии и сумму первых пяти ее членов.

Answer 1

$b_3=\frac{9}{16}\\\\b_2=64\cdot b_5\; \; \Rightarrow \; \; \; b_1q=64\cdot b_1q^4\; \; \Rightarrow \; \; \; 64b_1q^4-b_1q=0\\\\b_1q\cdot (64q^3-1)=0\; \; \Rightarrow \; \; b_1q=0\; \; \; ili\; \; \; 64q^3-1=0\\\\1)\; \; b_1q=0\; \; \Rightarrow \; \; b_1=0\; \; ili\; \; q=0\; \; ne\; podxodit \\\\2)\; \; 64q^3-1=0\; \; \Rightarrow \; \; \; (4q)^3=1\; ,\; \; 4q=1\; ,\; \; q=\frac{1}{4}\\\\3)\; \; b_3=b_1q^2=\frac{9}{16}\; \; \Rightarrow \; \; \; b_1=\frac{9}{16q^2}=\frac{9}{16\cdot (\frac{1}{4})^2}=9$

$4)\; \; S_5=\frac{b_1(1-q^5)}{1-q}= \frac{9\cdot (1-\frac{1}{4^5})}{1-\frac{1}{4}} = \frac{9\cdot \frac{1023}{1024}}{\frac{3}{4}} = \frac{9\, \cdot 1023\, \cdot 4}{1024\, \cdot 3} = \frac{3\, \cdot 1023}{256}=\\\\= \frac{3069}{256}=11\frac{253}{256}$

Answer 2

Задача о геометрической прогрессии

Дано, что третий член геометрической прогрессии равен 9/16, а второй член больше пятого в 64 раза. Нужно найти знаменатель прогрессии и сумму первых пяти ее членов.

Решение:

Пусть первый член геометрической прогрессии равен a, а знаменатель прогрессии равен q.

Из условия задачи, известно, что второй член прогрессии больше пятого в 64 раза. Мы можем записать это следующим образом:

a * q = 64 * (a * q^4) Также известно, что третий член прогрессии равен 9/16:

a * q^2 = 9/16 Используя эти два уравнения, мы можем найти значения a и q.

Решим первое уравнение относительно a:

a = 64 * (a * q^4) / q Разделим обе части уравнения на a:

1 = 64 * q^4 / q

Упростим:

1 = 64 * q^3

Теперь решим второе уравнение относительно q:

q^2 = (9/16) / a

Умножим обе части уравнения на a:

a * q^2 = 9/16

Подставим значение a * q^2 из второго уравнения в первое:

(9/16) = 64 * q^3

Упростим:

q^3 = (9/16) / 64

q^3 = 9 / (16 * 64)

q^3 = 9 / 1024

Возведем обе части уравнения в куб:

q = (9 / 1024)^(1/3)

Вычислим значение q:

q ≈ 0.5

Теперь, когда у нас есть значение q, мы можем найти значение a:

a = (9/16) / q^2

Подставим значение q:

a = (9/16) / (0.5)^2

a = (9/16) / 0.25

a = (9/16) * 4

a = 9/4

Таким образом, знаменатель прогрессии q равен 0.5, а первый член прогрессии a равен 9/4.

Нахождение суммы первых пяти членов прогрессии:

Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии может быть найдена с использованием формулы:

S_n = a * (1 - q^n) / (1 - q) Где S_n - сумма первых n членов прогрессии, a - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии.

В данном случае, нам нужно найти сумму первых пяти членов прогрессии, поэтому n = 5.

Подставим значения a и q в формулу:

S_5 = (9/4) * (1 - (0.5)^5) / (1 - 0.5)

S_5 = (9/4) * (1 - 1/32) / (1/2)

S_5 = (9/4) * (31/32) / (1/2)

S_5 = (9/4) * (31/32) * (2/1)

S_5 = (9/4) * (31/16)

S_5 = 279/64

Таким образом, сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 279/64.

Пожалуйста, обратите внимание, что результаты были округлены для удобства чтения и могут быть представлены в другом виде в зависимости от требований задачи.