Question

Найти предел ((x^2-3x+3)^1/2-1)/sinpix ; при х-> 1

Answer 1

=lim(((x^2-3x+3)^1/2-1))*((x^2-3x+3)^1/2+1))/((sinpix)*((x^2-3x+3)^1/2+1)) =lim (x^2-3x+3-1)/((sinpix)*((x^2-3x+3)^1/2+1))=lim((x-1)(x-2))/((sinpix)*((x^2-3x+3)^1/2+1)) делаем замену x-1=t, тогда t->0 и предел примет вид: lim(t(t-1))/((sin(pi+pit))*((t^2-t+1)^1/2+1))=lim(t(t-1))/((-sin(pit))*((t^2-t+1)^1/2+1))=lim(t(t-1))/(pit*((-sin(pit)/pit)*((t^2-t+1)^1/2+1))= по первому замечательному пределу sin(pit)/pit -> 1 при t->0 =lim(t-1)/(-pi*((t^2-t+1)^1/2+1))=lim(0-1)/(-pi*(0-0+1)^1/2+1)=-1/(-pi+1)=1/(pi-1)

Answer 2

Для нахождения предела данной функции при x->1, мы можем воспользоваться замечательным пределом sin(x)/x, который равен 1 при x->0.

Итак, рассмотрим предел ((x^2-3x+3)^1/2-1)/sinπx при x->1.

Для начала заменим x на 1 в выражении ((x^2-3x+3)^1/2-1)/sinπx:

((1^2-3*1+3)^1/2-1)/sinπ*1 = ((1-3+3)^1/2-1)/sinπ = (1^1/2-1)/sinπ = (1-1)/sinπ = 0

Таким образом, предел ((x^2-3x+3)^1/2-1)/sinπx при x->1 равен 0.