Question

При каком значении k векторы α(-2;k;3) и b (4;6;-6) перпендикулярны? коллинеарны ?​

Answer 1

Эти векторы будут перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю, т.е.:

Xa*Xb + Ya*Yb + Za*Zb = 0

Тогда:

-2*4+к*6+3*(-6)=0

-8+6к-18=0

6к-24=0

6к=24

к=24/6=4

При к=4 векторы будут перпендикулярны.

Векторы коллинеарны, если:

Xa/Xb=Ya/Yb=Za/Zb

Тогда:

-2/4=к/6=3/-6

-2/4=к/6

к=(-2/4)*6=-3

При к=-3 векторы будут коллинеарны.

Answer 2

Два вектора $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю, то есть:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 = 0$

В вашем случае вектор $\mathbf{a} = \begin{bmatrix} -2 \\ k \\ 3 \end{bmatrix}$ и вектор $\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \\ -6 \end{bmatrix}$. Подставим их значения в уравнение скалярного произведения:

$(-2) \cdot 4 + k \cdot 6 + 3 \cdot (-6) = 0$

Решив это уравнение, вы найдете значение $k$, при котором векторы перпендикулярны.

Два вектора коллинеарны, если один может быть получен из другого умножением на константу. То есть, они коллинеарны, если:

$\mathbf{a} = \lambda \cdot \mathbf{b}$

где $\lambda$ - некоторая константа, не равная нулю.

В вашем случае, сравните соответствующие компоненты векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ и установите условие, при котором это выполняется. Это условие будет определять коллинеарность векторов в зависимости от $k$.