Question

В правильной усеченной 4-угольной пирамиде Стороны нижнего и верхнего оснований равны 1Осм и 8см. Угол наклона каждой боковой грани к плоскости основания равен 60°. Найти объем усеченной пирамиды.

Answer 1

Для обчислення об'єму усіченої піраміди потрібно знати довжину висоти піраміди. У даному завданні висота не надається, але ми можемо використати геометричні властивості для знаходження її значення.

Розглянемо правильний чотирикутний основний план піраміди. У цьому плані ми маємо два правильних трикутника - один зі стороною 10 см (нижнє основання) і другий зі стороною 8 см (верхнє основання). Також ми знаємо, що кут між бічною гранню і площиною основи становить 60 градусів.

Використовуючи геометричні властивості, ми можемо побудувати прямокутний трикутник, в якому гіпотенуза - висота піраміди, а катетами будуть половини сторін нижнього і верхнього основань.

Для обчислення висоти піраміди розглянемо половину трикутника зі сторонами 10 см і 8 см:

Застосуємо теорему Піфагора: (половина сторони основи)^2 + (висота)^2 = (половина сторони основи)^2.

(5 см)^2 + (висота)^2 = (4 см)^2.

25 + (висота)^2 = 16.

(висота)^2 = 16 - 25.

(висота)^2 = -9.

Отримали від'ємне значення, що неможливо в реальному контексті. Це свідчить про те, що дана усічена піраміда не існує з даними розмірами сторін.

Будь ласка, перевірте правильність вхідних даних і задайте нове завдання, якщо потрібно.

Answer 2

Для нахождения объема усеченной пирамиды (V) используется следующая формула:

$V = \frac{1}{3}h(A_1 + A_2 + \sqrt{A_1 \times A_2})$

где $h$ - высота усеченной пирамиды, $A_1$ и $A_2$ - площади нижнего и верхнего оснований соответственно.

Для данной задачи, $A_1 = 100 \, \text{см}^2$ (площадь нижнего основания) и $A_2 = 64 \, \text{см}^2$ (площадь верхнего основания).

Из условия задачи известно, что угол наклона каждой боковой грани к плоскости основания равен $60^\circ$. Это значит, что боковые грани являются равносторонними треугольниками со стороной 8 см и высотой $h$.

Рассмотрим треугольник с углом $60^\circ$. Этот треугольник делится на два прямоугольных треугольника, один из которых имеет высоту $h$, а основание составляет половину стороны 8 см, то есть 4 см.

Используя тригонометрические соотношения, можно найти высоту $h$ следующим образом:

$h = 4 \times \tan(60^\circ) = 4 \times \sqrt{3} \, \text{см}$

Теперь, подставляя все известные значения в формулу объема пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \times 4\sqrt{3} \times (100 + 64 + \sqrt{100 \times 64})$ $V = \frac{1}{3} \times 4\sqrt{3} \times (100 + 64 + 80)$ $V = \frac{1}{3} \times 4\sqrt{3} \times 244$ $V = 4\sqrt{3} \times 81.33$ $V \approx 445.65 \, \text{см}^3$

Ответ: объем усеченной пирамиды составляет примерно $445.65 \, \text{см}^3$.