Question

Точка М лежит на гиперболе у = 60 : х и удалена от начала координат на расстояние, равное 13 единицам. Найдите координаты точки М.

Answer 1

$\left \{ {{ \sqrt{ x^{2} + y^{2}}=13} \atop {y= \frac{60}{x} }} \right.$
$\left \{ {{ \sqrt{ x^{2} + (\frac{60}{x})^{2}}=13} \atop {y= \frac{60}{x} }} \right.$
решим первое отдельно, а потом из второго найдем у
${{ x^{2} + (\frac{60}{x})^{2}=169$
${{ x^{2} + \frac{60^{2}}{x^{2}}=169$
$x^{4}-169 x^{2} +3600=0$
$( x^{2} -25)( x^{2} -144)=0$
x²=25 ∨ x²=144
x∈{-12; -5; 5; 12}
y соответственно ∈{-5; -12;12;5}
Ответ: таких точек четыре (-12;-5) (-5;-12) (5;12) (12;5)

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем использовать уравнение гиперболы в стандартной форме:

у²/a² - x²/b² = 1

где (х, у) - координаты точки на гиперболе, а - расстояние от центра гиперболы до её вершин по горизонтали, b - расстояние от центра гиперболы до её вершин по вертикали.

Из условия задачи мы знаем, что точка М находится на гиперболе у = 60/х, и она удалена от начала координат на расстояние, равное 13 единицам.

Итак, давайте найдем значения а и b:

1. Расстояние от центра гиперболы до её вершин по горизонтали (а) равно половине расстояния между вершинами гиперболы. В данном случае, равенство у = 60/х позволяет нам определить координаты вершины гиперболы, где значение у максимально. Так как у = 60/х, чтобы найти значение х, мы можем решить уравнение 60/х = 0. Заметим, что х не может быть равен 0, так как это приведет к делению на 0. Поэтому, чтобы найти значение х, мы можем решить уравнение 60/х = 0, которое эквивалентно х = бесконечности. Таким образом, гипербола является вертикальной и расстояние от центра гиперболы до вершин по вертикали (b) равно 60.

2. Теперь, зная значения а и b, мы можем записать уравнение гиперболы в стандартной форме:

у²/60² - x²/b² = 1

3. Также, у нас есть информация о том, что точка М находится на гиперболе и удалена от начала координат на расстояние, равное 13 единицам. Мы можем использовать это знание для нахождения координат точки М.

Подставляя координаты точки М в уравнение гиперболы, получим:

(у-0)²/60² - (х-0)²/13² = 1

у²/3600 - x²/169 = 1

Так как точка М находится на гиперболе, мы можем подставить координаты точки М в это уравнение:

(у-0)²/3600 - (х-0)²/169 = 1

60²/3600 - x²/169 = 1

3600/3600 - x²/169 = 1

1 - x²/169 = 1

-x²/169 = 0

Уравнение -x²/169 = 0 верно только в том случае, если x = 0. Таким образом, мы получаем, что координата х точки М равна 0.

Теперь, подставим значение х = 0 в уравнение гиперболы:

у²/3600 - 0/169 = 1

у²/3600 = 1

у² = 3600

у = ±√3600

у = ±60

Итак, координаты точки М равны (0, 60) и (0, -60). Это означает, что точка М находится на оси у и удалена от начала координат на расстояние, равное 13 единицам в положительном и отрицательном направлении по оси у соответственно.