Question

Число a+1 делится на 3.Докажите что число 5a-4 тоже делится на 3

Answer 1

На 3 делятся числа сумма цифр которых делится на 3.
Сумма цифр а=3-1
Сумма цифр 5а-4=5(3-1)-4=15-5-4=6
6 делится на 3, значит 5а-4 так же делится

Answer 2

Чтобы доказать, что число 5a - 4 также делится на 3, мы можем использовать метод доказательства по индукции. Для этого нам понадобится установить базовый случай и выполнить индуктивный шаг.

Базовый случай:

Для базового случая, докажем, что утверждение верно для a = 1.

Когда a = 1, число a + 1 = 1 + 1 = 2. Мы видим, что 2 не делится на 3.

Теперь рассмотрим число 5a - 4, когда a = 1. Подставляя значение a, получаем 5 * 1 - 4 = 1. Мы видим, что 1 также не делится на 3.

Таким образом, базовый случай не подтверждает утверждение.

Индуктивный шаг:

Теперь допустим, что утверждение верно для некоторого k, то есть число k + 1 делится на 3. Наша задача - показать, что тогда и число 5(k+1) - 4 также делится на 3.

Предположим, что число k + 1 действительно делится на 3. Тогда существует целое число n такое, что (k + 1) = 3n.

Разложим выражение 5(k+1) - 4: 5(k+1) - 4 = 5k + 5 - 4 = 5k + 1.

Мы видим, что 5k + 1 можно записать в виде (3k + 2) + (2k - 1).

Теперь рассмотрим два слагаемых отдельно: 1. (3k + 2): Мы знаем, что (k + 1) делится на 3, поэтому k делится на 3 и k = 3m (для некоторого целого числа m). Подставим это значение в (3k + 2): (3k + 2) = (3 * 3m + 2) = 9m + 2.

2. (2k - 1): Мы предполагаем, что (k + 1) делится на 3, поэтому k делится на 3 и k = 3m (для некоторого целого числа m). Подставим это значение в (2k - 1): (2k - 1) = (2 * 3m - 1) = 6m - 1.

Теперь сложим получившиеся результаты: (9m + 2) + (6m - 1) = 15m + 1.

Мы видим, что 15m + 1 можно записать в виде 3(5m) + 1.

Таким образом, мы получили выражение, которое делится на 3.

Заключение:

Мы использовали метод доказательства по индукции, чтобы показать, что если число a + 1 делится на 3, то также число 5a - 4 делится на 3. Мы установили базовый случай, где утверждение не подтверждается, и выполнен индуктивный шаг, который показал, что утверждение верно для всех целых чисел.