Question

Вычислить предел функции lim (1+2÷3x)^2

Answer 1

Предел функции равен 1 (конечно если х стремится к бесконечности)
(1+2/(3*бесконечно большое число))^2 = (1 + бесконечно малое число)^2=
1^2 = 1

Answer 2

Чтобы вычислить предел функции, в данном случае предел (1 + 2/(3x))^2, необходимо использовать метод алгебраических преобразований и свойств пределов функций.

Давайте начнем с алгебраических преобразований:

(1 + 2/(3x))^2 = ((3x + 2)/(3x))^2

Теперь мы можем применить свойство предела произведения:

lim ((3x + 2)/(3x))^2 = (lim (3x + 2)/(3x))^2

Далее, мы можем применить свойство предела частного:

(lim (3x + 2)/(3x))^2 = (lim (3x + 2)/lim (3x))^2

Теперь давайте посмотрим на пределы отдельных частей выражения:

lim (3x + 2) при x стремящемся к бесконечности можно записать как 3 * lim x + lim 2. Поскольку x стремится к бесконечности, предел lim x будет равен бесконечности.

Таким образом, lim (3x + 2) = 3 * ∞ + 2 = ∞

lim (3x) при x стремящемся к бесконечности также будет равен бесконечности.

Теперь мы можем вернуться к нашему исходному выражению:

(lim (3x + 2)/lim (3x))^2 = (∞/∞)^2

Здесь мы столкнулись с неопределенностью вида ∞/∞. Чтобы решить эту неопределенность, можно применить правило Лопиталя, которое позволяет вычислить предел отношения двух функций, если их производные имеют пределы:

lim (f(x)/g(x)) = lim (f'(x)/g'(x))

Применим это правило к нашему выражению:

lim (3x + 2)/lim (3x) = lim (3/3) = 1

Таким образом, мы получаем:

(∞/∞)^2 = 1^2 = 1

Итак, предел функции (1 + 2/(3x))^2 при x стремящемся к бесконечности равен 1.