Question

F(x)=2x^3-6x^2-ctg x+7 найти первообразную

Answer 1

Вроде
(x^4)/2-2x^3+1/(sin^2x)+7x

Answer 2

$\int (2x^3-6x^2-\cot x+7)\,dx=2\int x^3dx-6\intx^2-\int\cot xdx+7\int dx=$

$=2\frac{x^4}{4}-6\frac{x^3}{3}-\int\frac{\cos x}{\sin x} dx+7x+C=$

$=\frac{x^4}{2}-2x^3-\int\frac{d\sin x}{\sin x} +7x+C=$

$=\frac{x^4}{2}-2x^3-\ln|\sin x| +7x+C$

где С= const

Answer 3

Для нахождения первообразной функции \( F(x) \) от функции \( f(x) = 2x^3 - 6x^2 - \cot(x) + x + 7 \) мы можем использовать метод интегрирования. Интегрирование - это обратный процесс дифференцирования, который позволяет найти первообразную функцию для заданной функции.

Нахождение первообразной функции

Для начала, найдем первообразные для каждого из слагаемых функции \( f(x) \):

1. Для слагаемого \( 2x^3 \), первообразной будет \( \frac{2}{4}x^4 = \frac{1}{2}x^4 + C_1 \), где \( C_1 \) - произвольная постоянная. 2. Для слагаемого \( -6x^2 \), первообразной будет \( -\frac{6}{3}x^3 = -2x^3 + C_2 \), где \( C_2 \) - произвольная постоянная. 3. Для слагаемого \( -\cot(x) \), первообразной будет \( -\ln|\sin(x)| + C_3 \), где \( C_3 \) - произвольная постоянная. 4. Для слагаемого \( x \), первообразной будет \( \frac{1}{2}x^2 + C_4 \), где \( C_4 \) - произвольная постоянная. 5. Для слагаемого 7, первообразной будет \( 7x + C_5 \), где \( C_5 \) - произвольная постоянная.

Теперь, найдем общую первообразную функции \( f(x) \) путем сложения найденных первообразных:

\[ F(x) = \frac{1}{2}x^4 - 2x^3 - \ln|\sin(x)| + \frac{1}{2}x^2 + 7x + C \]

где \( C \) - произвольная постоянная.

Ответ

Таким образом, общая первообразная функции \( f(x) = 2x^3 - 6x^2 - \cot(x) + x + 7 \) будет:

\[ F(x) = \frac{1}{2}x^4 - 2x^3 - \ln|\sin(x)| + \frac{1}{2}x^2 + 7x + C \]

где \( C \) - произвольная постоянная.