Question

Для расфасовки растворимого кофе используются металлические банки цилиндрической формы объёмом 126 см в кубе. При каких размерах банки на её изготовление потребуется наименьшее количество металла?​

Answer 1

Ответ:

r(осн.)=3,43см.

h=3,43см.

Пошаговое объяснение:

Дано:

V=126см^3

--------------------------------

Габариты при наименьшем

расходе материала - ?

V=pi*R²*h

h=V/pi*R²=126/pi*R²

S(полн.поверх.)=2*pi*R²+2*pi*R*h

S=2*pi*R²+2*pi*R*126/pi*R²=

=2*pi*R²+252/R

S'(R)=(2*pi*R²)'+(252/R)'

S'(R)=4*pi*R-2*252/R²

S'(R)=0

4*pi*R-504/R²=0

4*pi*R³-504=0

R³=504/4*pi

R=∛504/4*pi

R=∛504/4*3,14

R=3,42(см) или приб. (с изб.) R=3,43(см).

h=126/3,14*3,42²=3,43(см).

Answer 2

Для определения размеров банок, при которых потребуется наименьшее количество металла, мы можем использовать принцип минимизации поверхности. Поверхность банки можно рассчитать с помощью формулы для площади цилиндра:

S = 2πr^2 + 2πrh,

где S - общая поверхность банки, r - радиус дна банки, h - высота банки.

Так как объем банки равен 126 см³, мы можем выразить высоту банки через радиус и объем:

V = πr^2h, h = V / (πr^2).

Теперь мы можем подставить это выражение для высоты обратно в формулу для поверхности:

S = 2πr^2 + 2πr(V / (πr^2)).

Упростим это уравнение:

S = 2πr^2 + 2V/r.

Теперь наша цель - найти минимум этой функции S(r) путем дифференцирования и приравнивания к нулю:

dS/dr = 4πr - 2V/r^2 = 0.

Теперь решим это уравнение относительно r:

4πr = 2V/r^2, 4πr^3 = 2V, r^3 = V / (2π), r = (V / (2π))^(1/3).

Теперь, когда мы нашли радиус банки, мы можем найти высоту, используя выражение для h:

h = V / (πr^2).

Таким образом, размеры банки, при которых потребуется наименьшее количество металла, будут определены радиусом r и высотой h, которые мы только что вычислили.