Question

Окружность радиуса 3 вписана в равнобочную трапецию. Найдите боковую сторону этой трапеции, если одно из её оснований равно 3

Answer 1

Ответ:

7,5

Пошаговое объяснение:

Пусть основание ВС=3, значит BE=1,5=EC.

Отрезки касательных из точки В равны, значит часть стороны АВ равно 1,5 а остальное пусть равно x. Опустим высоту BG = 6 (как два радиуса).

И если опустить из точки С высоту, то основание АD будет разбито на отрезки 3 и два равных по бокам, пусть они будут равны y.

Можно составить уравнения:

1. Если в четырехугольник можно вписать окружность, то сумма противоположных сторон равны:

1,5+x+1,5+x(сумма боковых сторон)=3+3+y+y (сумма оснований)

3+2x=6+2y

x=1,5+y

2. Так же треугольник ABG прямоугольный, можно составить уравнение согласно теореме Пифагора:

(1,5+x)²=36+y²

Можно решать через систему данных уравнений, подставляем значение x:

(1,5+1,5+y)²=36+y²

(3+y)²=36+y²

9+6y+y²=36=y²

y=$\frac{27}{6}$

x=6

Значит боковая сторона равна: 6+1,5=7,5

Answer 2

Пусть основание трапеции, равное 3, обозначается как $AB$, а точки касания окружности с основанием обозначены как $C$ и $D$, где $C$ и $D$ лежат на $AB$ и $AC = AD = 3$. Также обозначим верхние вершины трапеции как $E$ и $F$.

Поскольку $AC = AD = 3$, то $CD = 3$, и $C$ и $D$ являются серединами отрезка $AB$, то есть $AC = BD = 3$.

Так как $AC = 3$ и $CD = 3$, треугольник $ACD$ является равносторонним треугольником.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AEC$, где $AE$ - радиус окружности, равный 3. По свойству прямоугольного треугольника:

$$AC^2 = AE^2 + EC^2 \Rightarrow 3^2 = 3^2 + EC^2 \Rightarrow EC^2 = 0 \Rightarrow EC = 0$$

Так как $EC = 0$, то $E$ совпадает с $C$, и трапеция превращается в прямоугольник.

Таким образом, боковая сторона трапеции $EF$ равна основанию $AB$, которое равно 3.