Question

Докажите, что если a ≥ 0, b ≥ 0, то b(a² + 1) + a(b² + 1) ≥ 4ab. При каких a и b имеет место равенство?

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Докажите, что если a ≥ 0, b ≥ 0, то b(a² + 1) + a(b² + 1) ≥ 4ab. При

каких a и b имеет место равенство?

b(a² + 1) + a(b² + 1) ≥ 4ab

ba² + b + ab² + a - 4ab ≥ 0

(ba² + b - 2ab) + (ab² + a - 2ab) ≥ 0

b(a² - 2a + 1) + a(b² - 2b + 1) ≥ 0

b(a - 1)² + a(b - 1)² ≥ 0

первое слагаемое ≥ 0 поскольку b>=0 по условию

и (a - 1)² ≥ 0 как квадрат числа

второе слагаемое ≥ 0 поскольку a>=0 по условию

и (b - 1)² ≥ 0 как квадрат числа

сумма двух неотрицательных чисел ≥ 0

неравенство доказано

b(a - 1)² + a(b - 1)² ≥ 0

равенство нулю возможно если каждое из неотрицательных

слагаемых одновременно равны нулю

a=b=0

или a=b=1

Answer 2

Для доказательства данного неравенства, начнем с выражения $b(a^2 + 1) + a(b^2 + 1)$. Раскроем скобки:

$b(a^2 + 1) + a(b^2 + 1) = a^2b + b + ab^2 + a$

Теперь мы можем выразить это выражение как сумму двух частей:

$a^2b + b + ab^2 + a = ab(a + 1) + b(a + 1)$

Теперь мы видим, что данное выражение является произведением двух выражений: $ab$ и $(a + 1)(b + 1)$. Таким образом, наше неравенство можно переписать как:

$b(a^2 + 1) + a(b^2 + 1) = ab(a + 1)(b + 1)$

Теперь нам нужно доказать, что $ab(a + 1)(b + 1) \geq 4ab$.

Рассмотрим $(a + 1)(b + 1)$. Используя неравенство арифметического и геометрического среднего (AM-GM неравенство), мы можем сказать, что:

$\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2}$

Учитывая, что $a \geq 0$ и $b \geq 0$, можно утверждать, что $a + b \geq 0$. Поэтому:

$(a + 1)(b + 1) \geq 4\sqrt{ab}$

Теперь у нас есть:

$ab(a + 1)(b + 1) \geq 4ab$

Таким образом, мы доказали, что если $a \geq 0$ и $b \geq 0$, то $b(a^2 + 1) + a(b^2 + 1) \geq 4ab$.

Чтобы найти условия для равенства, равенство в AM-GM неравенстве достигается, когда все числа равны. В данном случае, это означает, что $a = b = 1$.