Question

Первая шестеренка состоит из 51 зубчиков, а вторая из 34 зубчиков. Через сколько вращений большой шестеренки обе шестеренки встанут в первоначальное положение?

Answer 1

Пусть $x$  - это наименьшее число вращений первой шестеренки с 51 зубчиками;

а  $y$  - это наименьшее число вращений второй шестеренки с 34 зубчиками.  

$x$ и $y$ - натуральные числа (х,у ∈ N)  

До первоначального положения

первая шестеренка прокрутит   $51x$ зубчиков,

а вторая прокрутит  $34y$  зубчиков.  

Получаем уравнение:

$51x = 34y$

$3x = 2y$

$x= \frac{2y}{3}$

Так как $x$ -  натуральное число, значит, дробь $\frac{2y}{3}$  должна быть  натуральным числом, но это возможно если значения $y$ будут кратны 3, т.е.   при $y$ = 3; 6 ; 9; 12; ...

Нам нужно минимальное значение!

При $y=3$      

$x=\frac{2*3}{3}=2$

$x=2$

Ответ: через 2 вращения большой шестеренки обе шестеренки встанут в первоначальное положение.

Answer 2

Чтобы определить, через сколько вращений большей шестеренки обе шестеренки вернутся в первоначальное положение, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел зубчиков в первой и второй шестеренках.

Зубчики первой шестеренки: 51 Зубчики второй шестеренки: 34

Сначала найдем НОД (наибольший общий делитель) этих чисел, чтобы определить, сколько вращений меньшей шестеренки потребуется, чтобы вернуться в начальное положение. Используем алгоритм Евклида для нахождения НОД:

НОД(51, 34) = НОД(34, 17) = НОД(17, 0) = 17

Таким образом, НОД чисел 51 и 34 равен 17.

Теперь мы можем найти НОК (наименьшее общее кратное) с использованием формулы:

НОК(51, 34) = (51 * 34) / НОД(51, 34) = (51 * 34) / 17 = 1530 / 17 = 90

Итак, большая шестеренка должна сделать 90 оборотов, чтобы обе шестеренки вернулись в первоначальное положение.