Question

В треугольник АВС вписана окружность. Угол А=50°, угол В=60°, угол С=70°. Найдите углы треугольника, вершинами которого являются точки касания вписанной окружности со сторонами данного треугольника.

Answer 1

Объясняю методику решения на примере нахождения угла К:
Угол ВАN=углу NAC=30⁰
Угол ВСМ=углу МСА=35⁰
Угол АОС=180-(30+35)=115⁰
Дальше рассматриваем четырёхугольник, выделенный красным:
В нём два угла прямые, поскольку, для ΔMNK окружность является описанной, центр которой лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам ΔMNK, то есть биссектрисы ΔАВС являются серединными перпендикулярами ΔMNK
Отсюда:
Угол К=360-(115+90+90)=65⁰
Подобным же образом находим:
Угол М=360-(125+90+90)=55⁰
Угол N=360-(120+90+90)=50⁰
Не самое короткое решение получилось...

Answer 2

Для решения данной задачи нам понадобится знание о свойствах треугольников, вписанных окружностей и их касательных. Давайте рассмотрим каждый угол треугольника, вершинами которого являются точки касания вписанной окружности со сторонами данного треугольника.

Угол A'

Дано, что угол А = 50°. Также из свойств вписанной окружности известно, что угол, образованный хордой, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же хорду. Из этого следует, что угол A' (угол, образованный хордой, проходящей через точку касания вписанной окружности) равен половине угла А.

Таким образом, угол A' = 50° / 2 = 25°.

Угол B'

Дано, что угол В = 60°. Из свойств вписанной окружности также известно, что угол между хордой и касательной, проведенной к точке касания, равен половине угла, опирающегося на эту хорду. Из этого следует, что угол B' (угол между стороной треугольника и касательной, проведенной к точке касания вписанной окружности) равен половине угла В.

Таким образом, угол B' = 60° / 2 = 30°.

Угол C'

Дано, что угол С = 70°. Из свойств вписанной окружности также известно, что угол между хордой и касательной, проведенной к точке касания, равен половине угла, опирающегося на эту хорду. Из этого следует, что угол C' (угол между стороной треугольника и касательной, проведенной к точке касания вписанной окружности) равен половине угла С.

Таким образом, угол C' = 70° / 2 = 35°.

Итак, углы треугольника, вершинами которого являются точки касания вписанной окружности со сторонами данного треугольника, равны: A' = 25°, B' = 30° и C' = 35°.