Question

Какой остаток дает при делении на 11 число вида 10...0, если у него а) четное Б) нечётное число нулей

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

а) Вычтем из числа 100...00(Допустим в нём n нулей) число вида 99...99, в котором n девяток , так как кол-во нолей чётно, то и кол-во девяток тоже чётно. Теперь докажем, что в числе вида 99...99(Допустим k девяток), в котором чётное кол-во девяток кратно 11, представим это число в виде суммы 99*10^(k-2)+99*10^(k-4)+...+99 = 99(10^(k-2)+10^(k-4)+...+1). Очевидно, что 99 кратно 11, а значит число вида 99...99(чётное число девяток) кратно 11.

Теперь вычтем из числа 10...00(n нулей) число 99...99(n девяток), очевидно, что разность равна 1, так как 99...99 кратно 11, то разность имеет такой же остаток при делении на 11, как и искомое число. А значит число вида 10...00 с чётным числом нулей при делении на 11 даёт остаток 1.

б) Представим число 10...00 с нечётным числом нулей в виде произведение 10...00(уже с чётным числом нулей) на 10. В пункте а было доказано, что число вида 10...00 с чётным числом нулей даёт остаток 1 при делении на 11. По свойству остатков при умножении числа на какое-то число, то и его остаток умножается на это же число. Из этого следует, что остаток 1 умножается на 10. А значит число вида 10...00 с нечётным числом нулей при делении на 11 даёт остаток 10.

Answer 2

Для определения остатка при делении числа вида 10...0 на 11, можно воспользоваться следующим правилом:

1. Если количество нулей в числе (последовательность нулей) четное, то остаток при делении на 11 равен 1.
2. Если количество нулей в числе (последовательность нулей) нечетное, то остаток при делении на 11 равен 10.

Примеры:

а) Если у нас есть число 1000 (3 нуля), то остаток при делении на 11 будет равен 10, так как количество нулей (3) нечетное.

б) Если у нас есть число 10000 (4 нуля), то остаток при делении на 11 будет равен 1, так как количество нулей (4) четное.