Question

Знайти екстремуми функції y=x⁴-4x³​

Answer 1

Ответ:

х = 0

х = 4

это и есть экстремумы функции

Answer 2

Щоб знайти екстремуми функції $y = x^4 - 4x^3$, спершу знайдемо похідну цієї функції та знайдемо точки, в яких похідна дорівнює нулю. Екстремуми функції відбуваються в точках, де похідна змінює знак.

1. Знайдемо похідну функції $y = x^4 - 4x^3$: $y' = \frac{d}{dx}(x^4) - \frac{d}{dx}(4x^3) = 4x^3 - 12x^2$

2. Знайдемо точки, в яких похідна дорівнює нулю: $4x^3 - 12x^2 = 0$

3. Виділимо спільний член $4x^2$: $4x^2(x - 3) = 0$

4. Знайдемо значення $x$: $4x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$ $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$

Отже, ми маємо дві точки, де похідна дорівнює нулю: $x = 0$ і $x = 3$.

5. Тепер визначимо знак похідної навколо цих точок, використовуючи тестування знаку. Оберемо значення $x$ з кожного з трьох інтервалів: $(-∞, 0)$, $(0, 3)$, і $(3, +∞)$, і визначимо знак похідної $y'$ на кожному з цих інтервалів:

   • Для $x < 0$: Підставляючи $x = -1$, отримаємо $y' = 4(-1)^3 - 12(-1)^2 = -4 - 12 = -16$, отже, $y' < 0$ на цьому інтервалі.

   • Для $0 < x < 3$: Підставляючи $x = 1$, отримаємо $y' = 4(1)^3 - 12(1)^2 = 4 - 12 = -8$, отже, $y' < 0$ на цьому інтервалі.

   • Для $x > 3$: Підставляючи $x = 4$, отримаємо $y' = 4(4)^3 - 12(4)^2 = 256 - 192 = 64$, отже, $y' > 0$ на цьому інтервалі.

За правилом зміни знаку похідної, у точках $x = 0$ і $x = 3$ можуть бути локальні екстремуми функції $y = x^4 - 4x^3$:

• У точці $x = 0$ похідна змінює знак з від'ємного на додатнє, тому це може бути локальний мінімум.

• У точці $x = 3$ похідна змінює знак з від'ємного на додатнє, тому це також може бути локальний мінімум.

Тепер давайте знайдемо значення функції $y$ у цих точках, щоб підтвердити, чи це дійсно локальні мінімуми:

• Для $x = 0$: $y(0) = 0^4 - 4(0)^3 = 0$.

• Для $x = 3$: $y(3) = 3^4 - 4(3)^3 = 81 - 108 = -27$.

Отже, у точці $x = 0$ маємо локальний мінімум зі значенням $y = 0$, і у точці $x = 3$ також маємо локальний мінімум зі значенням $y = -27$.

Таким чином, функція $y = x^4 - 4x^3$ має два локальних мінімуми: один у точці $(0, 0)$ та інший у точці $(3, -27)$.