Question

Маша нарисовала в ряд 20 клеточек и хочет раскрасить их тремя фломастерами разных цветов так, чтобы любые две соседние клетки были покрашены в разные цвета и при этом все 3 цвета встречались в раскраске. Сколькими способами это может сделать Маша?​

Answer 1

Ответ:6

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи можно воспользоваться принципом инклюзии-эксклюзии. Сначала найдем общее количество способов раскрасить 20 клеточек тремя разными цветами без ограничений. Далее, вычтем количество способов, в которых не все 3 цвета будут использованы, и количество способов, в которых будут соседние клетки с одинаковыми цветами.

1. Общее количество способов раскрасить 20 клеточек тремя разными цветами равно 3^20, так как для каждой клеточки у нас есть 3 варианта выбора цвета.

2. Теперь найдем количество способов раскрасить 20 клеточек, используя только 2 из 3 доступных цветов. Есть 3 способа выбрать 2 цвета из 3 (это сочетания), и каждый из этих цветов можно использовать для раскраски клеток. Таким образом, всего есть 3 * 2^20 способов раскрасить клетки, используя только 2 цвета.

3. Найдем количество способов раскрасить 20 клеточек так, чтобы были соседние клетки с одинаковыми цветами. Для этого выберем одну из 19 пар соседних клеток и выберем один из 3 цветов для этой пары. Затем останется 2 цвета для остальных клеток. Таким образом, количество способов равно 19 * 3 * 2^18.

Теперь мы можем применить принцип инклюзии-эксклюзии:

Количество способов, удовлетворяющих условиям задачи, равно:

3^20 - (3 * 2^20 - 19 * 3 * 2^18)

Рассчитаем это значение:

3^20 - (3 * 2^20 - 19 * 3 * 2^18) ≈ 3^20 - 3 * 2^20 ≈ 3^20 - 3 * (2^10)^2 ≈ 3^20 - 3 * 1024^2 ≈ 3^20 - 3 * 1048576 ≈ 3486784401 - 3145728 ≈ 3483638673

Итак, Маша может раскрасить 20 клеточек в ряду 20 различными способами так, чтобы любые две соседние клетки были покрашены в разные цвета и при этом все 3 цвета встречались в раскраске 3,483,638,673 способами.