Question

Обчислити кут між прямими 3х+у-7=0 та х-у-4=0

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

фото

Answer 2

Ответ:

Приведем канонический вид прямой в уравнение с угловым коэффициентом вида y=kx+b.

$3x + y - 7 = 0 \\ 3x + y = 7 \\ y = - 3x + 7$

Получается $k_{1}=-3$

$x - y - 4 = 0 \\ - y = - x + 4 \\ y = x - 4$

Если не знали, то x можно написать, как 1x. Поэтому $k_{2}=1$

Формула тангенса угла между прямыми:

$\tan( \phi) = | \frac{k _{1} - k_{2} }{1 + k _{1}k_{2} } |$

Если $k_{1} k_{2}=-1$, то получается, что в знаменателе будет 0. Тогда угол будет равен 90°, поэтому сначала надо проверить произведение коэффициентов.

$k_{1} k_{2} = - 3 \times 1 = - 3$

Ответ не -1, поэтому находим по формуле.

$\tan( \phi) = | \frac{ - 3 - 1}{1 + ( - 3) \times 1} |$

$\tan( \phi) = | \frac{ - 4}{ - 2} |$

$\tan( \phi) = 2$

$\phi = \arctan(2)$

Answer 3

Щоб обчислити кут між двома прямими, можна використовувати наступну формулу:

$\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\| \cdot \|\vec{b}\|}$

де:

• $\theta$ - це кут між двома векторами $\vec{a}$ і $\vec{b}$.
• $\vec{a}$ - вектор, який задає напрямок першої прямої.
• $\vec{b}$ - вектор, який задає напрямок другої прямої.

Давайте знайдемо вектори для двох заданих прямих і обчислимо кут між ними:

Перша пряма: $3x + y - 7 = 0$ Розглянемо це рівняння у вигляді $y = -3x + 7$. Тепер ми можемо побачити, що вектор напрямку прямої - це $\vec{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ -3 \end{bmatrix}$.

Друга пряма: $x - y - 4 = 0$ Розглянемо це рівняння у вигляді $y = x - 4$. Тепер ми можемо побачити, що вектор напрямку прямої - це $\vec{b} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$.

Тепер ми можемо обчислити косинус кута між цими векторами:

$\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\| \cdot \|\vec{b}\|}$

$\cos(\theta) = \frac{\begin{bmatrix} 1 \\ -3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}}{\|\begin{bmatrix} 1 \\ -3 \end{bmatrix}\| \cdot \|\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\|}$

Тепер обчислимо чисельник і знаменник:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1 \cdot 1) + (-3 \cdot 1) = 1 - 3 = -2$

$\|\vec{a}\| = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$

$\|\vec{b}\| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

Тепер підставимо ці значення у формулу для косинуса кута:

$\cos(\theta) = \frac{-2}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{2}}$