Question

Знайти похідну функції y=x3 (в кубі) в т. xo з приростом ∆x. Допоможіть будь ласочка

Answer 1

Відповідь:

y'=3х₀²

Покрокове пояснення:

1. х₀+Δх

2.у(х₀+Δх)=(х₀+Δх)³

3. Δу=у(х₀+Δх)-у(х₀)=(х₀+Δх)³-х₀³=х₀³+3х₀²Δх+3х₀Δх²+Δх³-х₀³=

=3х₀²Δх+3х₀Δх²+Δх³

4. Δу/Δх=(3х₀²Δх+3х₀Δх²+Δх³)/Δх=3х₀²+3х₀Δх+Δх²

5.lim Δу/Δх=lim(3х₀²+3х₀Δх+Δх²)=3х₀²=y'

  Δx→0         Δx→0

y'=3х₀²

Answer 2

Знайдемо похідну функції $y = x^3$ в точці $x_0$ з приростом $\Delta x$, використовуючи визначення похідної:

$f'(x_0) = \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

У нашому випадку $f(x) = x^3$, отже, ми можемо підставити це вираз у визначення похідної:

$f'(x_0) = \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{(x_0 + \Delta x)^3 - x_0^3}{\Delta x}$

Розгорнемо чисельник:

$(x_0 + \Delta x)^3 = x_0^3 + 3x_0^2\Delta x + 3x_0(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3$

Тепер підставимо це в вираз для похідної:

$f'(x_0) = \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{(x_0^3 + 3x_0^2\Delta x + 3x_0(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3) - x_0^3}{\Delta x}$

Спростимо чисельник, відкинувши $x_0^3$, які зрівнюються:

$f'(x_0) = \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{3x_0^2\Delta x + 3x_0(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3}{\Delta x}$

Тепер можна спростити цей вираз, розділивши кожен член на $\Delta x$:

$f'(x_0) = \lim_{{\Delta x \to 0}} \left(3x_0^2 + 3x_0\Delta x + (\Delta x)^2\right)$

Тепер підставимо $\Delta x = 0$, оскільки ми розглядаємо границю при $\Delta x \to 0$:

$f'(x_0) = 3x_0^2$

Отже, похідна функції $y = x^3$ в точці $x_0$ дорівнює $3x_0^2$.