Question

Знайти проміжки точки функції і f(x)=x/4+9/x

Answer 1

Щоб знайти проміжки точок функції, де вона має значення, спочатку потрібно розв'язати нерівняння, яке визначає область визначення функції. Для функції f(x) = x/4 + 9/x область визначення обмежена відмінністю від нуля знаменника, тому x ≠ 0.

Таким чином, можна зробити наступні висновки щодо проміжків точок функції:

1. Якщо x > 0, то обидва доданки функції будуть додатніми, тому f(x) буде додатньою.

2. Якщо x < 0, то перший доданок буде від'ємним, а другий - додатнім. Таким чином, f(x) може бути як додатньою, так і від'ємною, залежно від значення модуля x.

3. Оскільки x ≠ 0, то в околі точки x = 0 функція не визначена.

Отже, проміжками точок функції є:

1. (0, +∞), де f(x) > 0.

2. (-∞, 0) ∪ (0, +∞), де f(x) може бути і додатною, і від'ємною.

3. Окіл точки x = 0, де функція не визначена.

Answer 2

Щоб знайти проміжки точки функції $f(x) = \frac{x}{4} + \frac{9}{x}$, вам потрібно визначити, де функція змінює знак свого похідного $f'(x)$. Коли похідна змінює знак з плюса на мінус або з мінуса на плюс, то це означає, що функція має точку максимуму або мінімуму, або існує точка перегину функції.

Давайте спробуємо знайти $f'(x)$:

$f(x) = \frac{x}{4} + \frac{9}{x}$

$f'(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{4}\right) + \frac{d}{dx} \left(\frac{9}{x}\right)$

$f'(x) = \frac{1}{4} - \frac{9}{x^2}$

Тепер давайте знайдемо точки, де $f'(x) = 0$ або де $f'(x)$ не існує (точки, де $x = 0$).

Для $f'(x) = 0$: $\frac{1}{4} - \frac{9}{x^2} = 0$

$\frac{1}{4} = \frac{9}{x^2}$

$x^2 = \frac{9}{\frac{1}{4}}$

$x^2 = 36$

$x = \pm 6$

Отже, $f'(x) = 0$ при $x = 6$ і $x = -6$.

Тепер давайте розглянемо точки, де $f'(x)$ не існує. Функція $f'(x)$ не існує, коли знаменник стає рівним нулю. У нашому випадку це може відбутися, якщо $x = 0$.

Отже, є три можливі точки, де $f'(x) = 0$ або $f'(x)$ не існує:

1. $x = 6$
2. $x = -6$
3. $x = 0$

Ці точки можуть бути точками максимуму, мінімуму або точками перегину функції $f(x)$. Щоб визначити їхній характер, потрібно використовувати другу похідну або аналізувати значення функції в околицях цих точок.