Question

Найдите наибольшее трехзначное число, которое дает остаток 1 при делении на 5, остаток 2 при делении на 6, остаток 3 при делении на 7.

Answer 1

Відповідь:

Искомое число 836.

Покрокове пояснення:

Наибольшее из существующих трехзначных чисел - это 999. Нам необходимо найти искомое, наибольшее число из диапазона 100 - 999.

Упростим задачу и уменьшим диапазон поиска.

Найдем наименьшее общее кратное для чисел 5, 6 и 7:

НОК = 5 × 6 × 7 = 210

Теперь нам необходимо найти искомое, наибольшее число из диапазона 1 - 210, а потом увеличивать его на 210 до тех пор пока число будет оставаться трехзначным.

1) Начнем с деления на число "5". Любое целое число делится на число "5" без остатка, если оно заканчивается либо цифрой "0", либо цифрой "5". Для получения в остатке числа "1", необходимо, чтобы делимое заканчивалось либо цифрой 0 + 1 = 1, либо цифрой 5 + 1 = 6.

2) Проанализируем деление на число "6". Число "6" - четное, следовательно при умножении его на любое целое число ( как четное, так и нечетное ) в результате мы получим четное число. Число "2" - также четное и при прибавлении к четному числу мы также получим четное число. Таким образом искомое число заканчивается цифрой "6", а соответствующее ему число, которое делится на число "6" без остатка ( меньше искомого на две единицы ) заканчивается цифрой 6 - 2 = 4. Это последовательность чисел: ( 6 × 4 ) + 30 × n. Это числа: 24, 54, 84, 114, 154, 184, 204. Следующее число 234, а оно больше 210.

3) Искомое число заканчивается цифрой "6", а соответствующее ему число, которое делится на число "7" без остатка ( меньше искомого на три единицы ) заканчивается цифрой 6 - 3 = 3. Это последовательность чисел: ( 7 × 9 ) + 70 × n. Это числа: 63, 133, 203. Следующее число 273, а оно больше 210.

4) Среди найденных чисел есть:

206 при делении на 5 дает остаток 1.

204 + 2 = 206 при делении на 6 дает остаток 2.

203 + 3 = 206 при делении на 7 дает остаток 3.

5) Увеличим число на наименьшее общее кратное для чисел 5, 6 и 7 - число 210 столько раз сколько потребуется для того, чтобы не превысить число 999.

210 × 3 + 206 = 630 + 206 = 836

Следующее число 836 + 210 = 1046 - четырехзначное ( больше 999 ).

Проверка:

836 / 5 = 167 ( остаток 1 ).

836 / 6 = 139 ( остаток 2 ).

836 / 7 = 119 ( остаток 3 ).

Answer 2

Давайте решим эту задачу пошагово. Нам нужно найти наибольшее трехзначное число, которое соответствует следующим условиям:

1. Делится на 5 с остатком 1.
2. Делится на 6 с остатком 2.
3. Делится на 7 с остатком 3.

Для начала, найдем наименьшее число, которое соответствует первым двум условиям (делится на 5 с остатком 1 и на 6 с остатком 2). Это число будет кратно 5 и 6, поэтому оно будет кратно их наименьшему общему кратному (НОК), которое равно 30. Поэтому мы начнем с числа 30 и будем увеличивать его на 30 до тех пор, пока не найдем число, которое удовлетворяет первым двум условиям.

30, 60, 90, 120, 150, ...

Теперь нам нужно проверить, удовлетворяет ли найденное число третьему условию (делится на 7 с остатком 3). Начнем с числа 150 и будем увеличивать его на 30 до тех пор, пока не найдем число, которое соответствует третьему условию.

150, 180, 210, 240, 270, 300, 330, 360, 390, 420, 450, 480, 510, 540, 570, 600, 630, 660, 690, 720, 750, 780, 810, 840, 870, 900, 930, 960, 990.

Первое число, которое соответствует всем трём условиям, это 990.

Итак, наибольшее трехзначное число, которое соответствует условиям (делится на 5 с остатком 1, на 6 с остатком 2 и на 7 с остатком 3), равно 990.