Question

Знайдіть найбільше та найменше значення функції f(x)=x³-3x на проміжку [-2;0] ​

Answer 1

Щоб знайти найбільше та найменше значення функції f(x)=x3−3xf(x)=x3−3x на проміжку [−2,0][−2,0], спочатку знайдемо значення функції на кінцях проміжку та критичних точках усередині проміжку.

   Значення функції на кінцях проміжку:

   Для x=−2x=−2:

   f(−2)=(−2)3−3(−2)=−8+6=−2f(−2)=(−2)3−3(−2)=−8+6=−2

   Для x=0x=0:

   f(0)=(0)3−3(0)=0−0=0f(0)=(0)3−3(0)=0−0=0

   Знайдемо критичні точки, розв'язавши рівняння f′(x)=0f′(x)=0, де f′(x)f′(x) - похідна функції f(x)f(x):

   f′(x)=3x2−3f′(x)=3x2−3

   Рішенням рівняння f′(x)=0f′(x)=0 є:

   3x2−3=03x2−3=0

   3(x2−1)=03(x2−1)=0

   (x−1)(x+1)=0(x−1)(x+1)=0

   Таким чином, критичні точки на проміжку [−2,0][−2,0] є x=−1x=−1 та x=1x=1.

   Значення функції в критичних точках:

   Для x=−1x=−1:

   f(−1)=(−1)3−3(−1)=−1+3=2f(−1)=(−1)3−3(−1)=−1+3=2

   Для x=1x=1:

   f(1)=(1)3−3(1)=1−3=−2f(1)=(1)3−3(1)=1−3=−2

Таким чином, найбільше значення функції f(x)=x3−3xf(x)=x3−3x на проміжку [−2,0][−2,0] дорівнює 2, а найменше значення дорівнює -2.

Answer 2

Для знаходження найбільшого та найменшого значення функції f(x) = x³ - 3x на проміжку [-2; 0], спершу знайдемо похідну цієї функції та знайдемо її критичні точки. Потім визначимо значення функції в цих точках та на кінцях проміжку, і визначимо, які з цих значень є найбільшими та найменшими.

1. Знайдемо похідну функції f(x):

f'(x) = 3x² - 3.

2. Знайдемо критичні точки, при яких f'(x) = 0:

3x² - 3 = 0, 3x² = 3, x² = 1, x = ±1.

Таким чином, є дві критичні точки: x = -1 та x = 1.

3. Тепер знайдемо значення функції f(x) в цих критичних точках та на кінцях проміжку [-2; 0]:

f(-2) = (-2)³ - 3(-2) = -8 + 6 = -2, f(0) = 0³ - 3(0) = 0, f(-1) = (-1)³ - 3(-1) = -1 + 3 = 2, f(1) = 1³ - 3(1) = 1 - 3 = -2.

Таким чином, маємо такі значення функції:

f(-2) = -2, f(0) = 0, f(-1) = 2, f(1) = -2.

Найбільше значення на проміжку [-2; 0] - це 2 (досягається при x = -1), а найменше значення - це -2 (досягається при x = -2 та x = 1).