Question

Решить уравнение 2 sin ² x+3 cosx=0 ​помогите плиз

Answer 1

Для розв'язання цього тригонометричного рівняння використаємо тригонометричні тотожності та алгебраїчні перетворення.

Почнемо зі спрощення виразу. Використовуючи тотожність sin^2(x) + cos^2(x) = 1, можемо перетворити рівняння:

2sin^2(x) + 3cos(x) = 0,

2(1 - cos^2(x)) + 3cos(x) = 0,

2 - 2cos^2(x) + 3cos(x) = 0.

Тепер перетворимо це рівняння в квадратне відносно змінної cos(x):

-2cos^2(x) + 3cos(x) + 2 = 0.

Застосуємо квадратну формулу:

cos(x) = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a),

де a = -2, b = 3, c = 2.

Підставимо ці значення:

cos(x) = (-(3) ± √((3)^2 - 4(-2)(2))) / (2(-2)),

cos(x) = (-3 ± √(9 + 16)) / (-4),

cos(x) = (-3 ± √(25)) / (-4),

cos(x) = (-3 ± 5) / (-4).

Таким чином, отримуємо два розв'язки:

1) cos(x) = (5 - 3) / (-4) = 2 / (-4) = -1/2,

Це відповідає значенню x = π + 2πk, де k - ціле число.

2) cos(x) = (-5 - 3) / (-4) = -8 / (-4) = 2,

Оскільки значення косинуса не може перевищувати 1, цей розв'язок не є припустимим.

Таким чином, єдиним розв'язком цього рівняння є x = π + 2πk, де k - ціле число.

Answer 2

Давайте решим уравнение 2sin²(x) + 3cos(x) = 0.

Сначала мы можем воспользоваться тригонометрической тождеством sin²(x) + cos²(x) = 1, чтобы выразить sin²(x) через cos(x):

sin²(x) = 1 - cos²(x)

Теперь подставим это в исходное уравнение:

2(1 - cos²(x)) + 3cos(x) = 0

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

2 - 2cos²(x) + 3cos(x) = 0

Теперь давайте представим это как квадратное уравнение относительно cos(x):

-2cos²(x) + 3cos(x) + 2 = 0

Для решения этого уравнения, давайте воспользуемся квадратным уравнением. Дискриминант (D) будет равен:

D = b² - 4ac

где a = -2, b = 3 и c = 2. Подставляем значения:

D = (3)² - 4(-2)(2) = 9 + 16 = 25

D > 0, что означает, что у нас есть два действительных корня.

Теперь используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

cos(x) = (-b ± √D) / (2a)

cos(x) = (-3 ± √25) / (2(-2))

cos(x) = (-3 ± 5) / (-4)

Теперь вычисляем два возможных значения для cos(x):

1. cos(x) = (-3 + 5) / (-4) = 2 / (-4) = -1/2
2. cos(x) = (-3 - 5) / (-4) = -8 / (-4) = 2

Теперь найдем соответствующие значения для sin(x) используя тождество sin²(x) + cos²(x) = 1:

1. sin²(x) = 1 - cos²(x) = 1 - (-1/2)² = 1 - 1/4 = 3/4
2. sin²(x) = 1 - cos²(x) = 1 - 2² = 1 - 4 = -3 (но такой вариант недопустим, так как sin(x) не может быть отрицательным).

Теперь найдем sin(x):

1. sin(x) = ±√(3/4) = ±√3/2

Таким образом, у нас есть два набора корней:

1. x₁: cos(x₁) = -1/2 и sin(x₁) = √3/2
2. x₂: cos(x₂) = 2 (но такой вариант недопустим, так как косинус не может быть больше 1)

Теперь найдем значения углов x₁:

1. x₁ = arccos(-1/2) = π/3

Итак, решение уравнения 2sin²(x) + 3cos(x) = 0:

x = π/3

Поэтому уравнение имеет один корень x = π/3.