Question

Найти площу фігури. обмеженої лініями y=2/1+x^2 і у=х^2

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{3\pi -2 }{3}$  ед²

Пошаговое объяснение:

Найти площу фігури. обмеженої лініями y=2/(1+x^2) і у=х^2

Найдем точки пересечения данных графиков

$\dfrac{2}{x^2 + 1} = x^2 \\\\\ x^4 + x^2 - 2 = 0 \\\\\ x^2 = t \geqslant 0 ~ , ~ x^4 =t^2 \\\\ t^2 + t -2 = 0 \\\\ (t - 1)(t+2 ) = 0 \\\\ (x^2 -1)(x^2 + 2) = 0$

Уравнение во второй скобке действительных корней не имеет , а в первой выходят корни

$x^2 - 1 =0 \\\\ x_{1,2} = \pm 1$

Найдем площадь искомой фигуры  с помощью формулы

$S =\displaystyle \int\limits^a_b \Big ( f_1(x) - f_2(x) \Big ) \, dx$

Где $f_1 (x)$  - функция которая возрастает быстрее функции $f_2(x)$  на отрезке , концы которого являются пределами интегрирования
[ b ; a ]

По графику видно , что на отрезке [-1 ; 1]  функция $y = \dfrac{2}{x^2 + 1}$  растет быстрее  функции $y =x^2$

Тогда :

$S = \displaystyle \int\limits^{1}_{-1} \bigg ( \dfrac{2}{x^2 + 1}- x^2 \bigg ) \, dx = \int\limits^{1}_{-1} \dfrac{2}{x^2 + 1} \; dx - \int\limits^{1}_{-1} x^2 \; dx =$

$\displaystyle = (2\mathrm{arctg} ~ x)\bigg |^{1}_{-1} -\bigg ( \frac{x^3}{3}\bigg ) \Bigg |^{1}_{-1} = 2\cdot \Big( \mathrm{arctg} ~ 1 - \mathrm{arctg} (-1) \Big) - \Bigg (\frac{1}{3 } - \bigg (-\frac{1}{3} \bigg) \Bigg) =\\\\\\\ =2 \cdot \Bigg ( \frac{\pi }{4} -\bigg(-\frac{\pi }{4} \bigg) \Bigg ) -\frac{2}{3} =2\cdot \frac{\pi }{2} - \frac{2}{3} =\frac{3\pi -2}{3}$

#SPJ1

Answer 2

Щоб знайти площу фігури, обмеженої лініями y = 2/(1 + x^2) і y = x^2, потрібно спершу знайти точки перетину цих двох функцій. Потім можна буде обчислити інтеграл для знаходження площі.

Спочатку розв'яжемо систему рівнянь, щоб знайти точки перетину:

1. Поставимо рівності двох функцій одна до одної: 2/(1 + x^2) = x^2

2. Помножимо обидві сторони на (1 + x^2), щоб позбавитися від знаменника: 2 = x^2(1 + x^2)

3. Розкриємо дужки: 2 = x^2 + x^4

4. Перепишемо це рівняння в стандартному квадратному вигляді: x^4 + x^2 - 2 = 0

Тепер ми можемо використовувати квадратну формулу для знаходження коренів x:

x^2 = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

де a = 1, b = 1 і c = -2. Підставимо ці значення:

x^2 = (-1 ± √(1^2 - 4(1)(-2))) / (2(1))

x^2 = (-1 ± √(1 + 8)) / 2

x^2 = (-1 ± √9) / 2

x^2 = (-1 ± 3) / 2

Таким чином, маємо два можливі значення для x:

1. x^2 = (2/2) = 1 => x = ±1
2. x^2 = (-4/2) = -2 (це не має реальних коренів, оскільки x^2 не може бути від'ємним числом)

Отже, ми маємо дві точки перетину: (-1, 1) і (1, 1).

Тепер можемо знайти площу фігури, обмеженої цими двома кривими. Площу можна знайти за допомогою інтегралу:

S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx

де a і b - це x-координати точок перетину, f(x) - верхня функція (y = 2/(1 + x^2)), а g(x) - нижня функція (y = x^2).

S = ∫[-1, 1] ((2/(1 + x^2)) - x^2) dx

Тепер можна обчислити цей інтеграл, щоб знайти площу фігури.