Question

Укажіть проміжки зростання і спадання функції y=x^2+2x-3

Answer 1

Функція $y = x^2 + 2x - 3$ - це квадратична функція, і її графік є параболою. Для знаходження проміжків зростання і спадання цієї функції ми повинні дослідити знак похідної функції $y'(x)$.

Спочатку знайдемо похідну функції $y$: $y'(x) = 2x + 2$

Тепер визначимо, коли похідна $y'$ є додатною, а коли від'ємною. Для цього розв'яжемо рівняння $2x + 2 = 0$:

$2x + 2 = 0$ $2x = -2$ $x = -1$

Це точка, де похідна дорівнює нулю. Тепер розглянемо три інтервали:

1. Для $x < -1$ (наприклад, $x = -2$) похідна $y'$ буде від'ємною ($y'(-2) = 2(-2) + 2 = -4 + 2 = -2$). Тобто на цьому проміжку функція $y(x)$ спадає.

2. Для $x > -1$ (наприклад, $x = 0$) похідна $y'$ буде додатною ($y'(0) = 2(0) + 2 = 2$). Тобто на цьому проміжку функція $y(x)$ зростає.

3. Для $x = -1$ похідна $y'$ дорівнює нулю, і це є точкою мінімуму або максимуму (в даному випадку, це точка мінімуму).

Отже, функція $y(x)$ зростає на проміжку $(-\infty, -1)$ і $(-1, \infty)$, і спадає на проміжку $(-1, \infty)$. Точка $x = -1$ є точкою мінімуму функції.