Question

Существует ли такое натуральное число n, что число n^2 представимо в виде суммы квадратов трех попарно взаимно простых натуральных чисел?

Answer 1

 Заметим  что если положить к примеру  $a=2x$ , то есть что оно четное , тогда следует что  $b;c$ не четные , отсюда следует что можно рассмотреть два случая , когда все нечетные , либо  когда одно число четное 
   четный случаи 
  $a=2x\\ 4x^2+(2y+1)^2+(2z+1)^2=n^2$ 
  $4x^2+4y^2+4y+4z^2+4z+2=n^2$ , квадрат сравним по модулю  $4$ с  $0;1$ , то есть  при делений на  $4$ остатки равны  $0;1$ когда     $n=$  четное и нечетное соответственно 
 но  $4(x^2+y^2+z^2+y+z)+2$ , остаток равен  $2$ значит не может быть такого случая 
 второй когда все нечетные 
  $(2x+1)^2+(2y+1)^2+(2z+1)^2=n^2\\ 4(x^2+y^2+z^2)+4(x+y+z)+3=n^2$ 
  остаток в этом случае равен  $3$  $3 \equiv \ mod \ 4$ , что противоречит , так как остатки могут быть равны  $0;1$ 

Значит нет таких чисел

Answer 2

Да, существуют натуральные числа n, для которых число n^2 можно представить в виде суммы квадратов трех попарно взаимно простых натуральных чисел. Это следует из теоремы Лагранжа о суммах четырех квадратов, которая гласит, что любое натуральное число можно представить в виде суммы четырех квадратов неотрицательных целых чисел. Таким образом, если n^2 можно представить в виде суммы квадратов трех попарно взаимно простых натуральных чисел, то оно может быть представлено и в виде суммы квадратов четырех неотрицательных целых чисел.

Пример: Пусть n = 5. Тогда n^2 = 25, и мы можем представить 25 в виде суммы квадратов трех попарно взаимно простых натуральных чисел, например, 3^2 + 4^2 + 4^2 = 9 + 16 + 16 = 25.

Таким образом, для некоторых натуральных чисел n существует такое представление.