Question

Решите дифференциальное уравнение tgxdy - ydx=0 и найти его частное решение, если y=-1/2 при x=π/6

Answer 1

Это уравнение ни что иное как диф. уравнение с разделяющимися переменными.
    $tgxdy=ydx$

Разделяя переменные, имеем    $\displaystyle \frac{dy}{y} =tgxdx$

Интегрируя обе части уравнения, получим
    $\displaystyle \int \frac{dy}{y} =\int tgxdx~~\Rightarrow~~~~\int \frac{dy}{y} =\int -\frac{d(\cos x)}{\cos x} \\ \\ \\ \ln|Cy|=-\ln|\cos x|\\ \\ y= \frac{C}{\cos x}$
Получили общее решение дифференциального уравнения.

Теперь осталось найти частное решение дифференциального уравнения, подставив начальные условия.
  $-0.5= \dfrac{C}{\cos \frac{\pi}{6} } ;~~~~~\Rightarrow~~~~~~ C=- \dfrac{\sqrt{3}}{4}$

$\boxed{y= \frac{\sqrt{3}}{4\cos x} }$ - частное решение

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение можно решить с помощью метода разделяющихся переменных. Перепишем уравнение:

tg(x)dy - ydx = 0.

Теперь давайте разделим переменные, перемещая все содержащие y на одну сторону, а все содержащие x - на другую:

tg(x)dy = ydx.

Теперь интегрируем обе стороны уравнения:

∫(1/y)dy = ∫tg(x)dx.

Интегрирование левой стороны:

ln|y| = ∫tg(x)dx + C₁,

где C₁ - постоянная интегрирования.

Теперь возьмем экспоненту от обеих сторон:

|y| = e^(∫tg(x)dx + C₁).

Поскольку мы не знаем конкретное значение C₁, то e^(C₁) также будет константой. Давайте обозначим её как C₂:

|y| = C₂ * e^(∫tg(x)dx).

Далее, учитывая, что y(x) может быть как положительной, так и отрицательной, рассмотрим два случая:

1. y > 0: y = C₂ * e^(∫tg(x)dx).

2. y < 0: y = -C₂ * e^(∫tg(x)dx).

Теперь нам дано начальное условие: y = -1/2 при x = π/6. Подставим это условие в уравнение и найдем C₂:

-1/2 = -C₂ * e^(∫tg(π/6)dx), -1/2 = -C₂ * e^(ln(√3)), -1/2 = -C₂ * √3.

Отсюда получаем C₂ = √3/2.

Итак, частное решение уравнения tg(x)dy - ydx = 0 при y = -1/2 и x = π/6:

y = -√3/2 * e^(∫tg(x)dx).

Пожалуйста, обратите внимание, что интеграл ∫tg(x)dx может быть выражен в виде элементарных функций, но в данной задаче я не произвожу конкретное вычисление этого интеграла.