Question

2 ∫ (x^2)dx/(16-(x^2))^0.5 0 Помогите пожалуйста решить с пределами интегрирования

Answer 1

.............................

Answer 2

Для решения данного интеграла, сначала выполним замену переменной. Положим $x = 4\sin\theta$, тогда $dx = 4\cos\theta d\theta$ и пределы интегрирования изменятся.

При $x = 0$, $\theta = 0$, При $x = 4$, $\theta = \frac{\pi}{6}$, При $x = -4$, $\theta = -\frac{\pi}{6}$.

Подставим новые пределы интегрирования и замену переменной в исходный интеграл:

$2\int_{0}^{4} \frac{x^2dx}{\sqrt{16 - x^2}} = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{(4\sin\theta)^2 \cdot 4\cos\theta d\theta}{\sqrt{16 - (4\sin\theta)^2}} = 32\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{\sin^2\theta \cdot \cos\theta d\theta}{\sqrt{16 - 16\sin^2\theta}}$.

Мы можем использовать тригонометрическую тождество $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$, чтобы заменить $\cos\theta$:

$\cos\theta = \sqrt{1 - \sin^2\theta}$.

Теперь подставим $\cos\theta$ в интеграл:

$32\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{\sin^2\theta \cdot \sqrt{1 - \sin^2\theta} d\theta}{\sqrt{16 - 16\sin^2\theta}}$.

Далее, мы можем вынести числовой множитель из-под знака интеграла:

$32\cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{\sin^2\theta \cdot \sqrt{1 - \sin^2\theta} d\theta}{\sqrt{16 - 16\sin^2\theta}} = 32\cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{\sin^2\theta \cdot \sqrt{1 - \sin^2\theta}}{4\sqrt{1 - \sin^2\theta}} d\theta$.

Упростим выражение:

$32\cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{\sin^2\theta \cdot \sqrt{1 - \sin^2\theta}}{4\sqrt{1 - \sin^2\theta}} d\theta = 8\cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sin^2\theta d\theta$