Question

Решите уравнение !!!СРОЧНА ПОмогите пожалуйста y'=2^(x-y) y(-3)=-5

Answer 1

Рассмотрите предложенное решение.

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения первого порядка с начальным условием, используем метод разделения переменных. Уравнение имеет вид:

dy/dx = 2^(x-y)

Теперь разделим переменные, перемещая все y-связанные термины на одну сторону, а x-связанные термины на другую:

dy/2^(y) = dx*2^(x)

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

∫(1/2^(y)) dy = ∫2^(x) dx

Для левой части, используем замену переменной:

u = y, du = dy

∫(1/2^u) du = ∫2^x dx

Теперь проинтегрируем:

∫(1/2^u) du = ∫2^x dx

-∫2^(-u) du = ∫2^x dx

-(-2^(-u)) = ∫2^x dx

2^(-u) = ∫2^x dx + C1

2^(-y) = 2^(x) + C1 ... (1)

где C1 - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь используем начальное условие y(-3) = -5, чтобы найти значение C1:

2^(-(-5)) = 2^3 + C1

2^5 = 8 + C1

32 = 8 + C1

C1 = 32 - 8

C1 = 24

Теперь подставим значение C1 обратно в уравнение (1):

2^(-y) = 2^x + 24

Теперь возведем обе стороны в степень 2:

2^(-y)*2^y = (2^x + 24)*2^y

1 = 2^x2^y + 242^y

1 = 2^(x+y) + 24*2^y

Теперь подставим начальное условие y(-3) = -5, чтобы найти значение 2^y:

2^(x+(-5)) + 24*2^(-5) = 1

2^(x-5) + 24/32 = 1

2^(x-5) + 3/4 = 1

Теперь избавимся от дроби, вычитая 3/4 из обеих сторон:

2^(x-5) = 1 - 3/4

2^(x-5) = 1/4

Теперь возведем обе стороны в степень log2:

x - 5 = log2(1/4)

x - 5 = log2(2^(-2))

x - 5 = -2

Теперь добавим 5 к обеим сторонам:

x = -2 + 5

x = 3

Таким образом, решением данного дифференциального уравнения с начальным условием y(-3) = -5 является y = -5.