Question

Два отрезка AB и CD,лежащие в плоскости a,пересекаются в точке Е и делятся ею пополам.Вне плоскости а дана точка К,причем КА =КВ ,КС=КD.Докажите,что прямая КЕ перпендикулярна плоскости а.

Answer 1

Рассмотрим ΔKAB:
Так как E - середина AB, то KE - является медианой и высотой
(так как ΔKAB - равнобедренный)
Значит, KE - ⊥AB

Рассмотрим ΔKCD
Так как E - середина CD, то KE - является медианой и высотой
(так как ΔKCD - равнобедренный)
Значит, KE - ⊥CD

Пусть прямая a - прямая, на которой лежат точки A и B
И прямая b - прямая, на которой лежат точки C и D
Итак, прямая KE - перпендикулярна прямой a и и прямой b лежащей в проскости α, отсюда, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости следует, что KE ⊥ α. 
Доказано.

Answer 2

Для доказательства того, что прямая KE перпендикулярна плоскости a, мы можем воспользоваться двумя фактами:

1. Если точка лежит на пересечении двух перпендикулярных прямых в плоскости, то она сама является перпендикулярной к этой плоскости.
2. Если две прямые пересекаются и делятся пополам, то они равны между собой.

Для начала, обозначим середину отрезка AB как M и середину отрезка CD как N. Таким образом, МЕ и NE - медианы треугольника АВС. Также обозначим середину отрезка КА как P и середину отрезка КС как Q.

Согласно условию, М и N являются серединами отрезков AB и CD соответственно, поэтому МЕ и NE - это половины отрезков AB и CD. Аналогично, P и Q являются серединами отрезков КА и КС, так что KP и KQ - это половины отрезков КА и КС.

Так как КА = КВ и КС = КД, а KP и KQ - половины отрезков КА и КС, то мы можем заключить, что KP = KQ. Из этого следует, что точка K лежит на пересечении медиан треугольника АВС.

Теперь рассмотрим треугольник МЕК. Точка К лежит на пересечении медиан треугольника АВС, следовательно, она является точкой их пересечения. Так как МЕ - медиана треугольника АВС, а KE - медиана треугольника МЕК, то точка К также является точкой пересечения медиан треугольника МЕК.

Таким образом, точка К является точкой пересечения медиан треугольника МЕК, что означает, что она является центром тяжести этого треугольника. Вспомним первый факт, упомянутый в начале, который гласит, что точка пересечения медиан треугольника лежит на пересечении высот этого треугольника, а высоты перпендикулярны к плоскости треугольника.

Таким образом, прямая KE является высотой треугольника МЕК и, следовательно, перпендикулярна плоскости a.