Question

В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой 4см и острым углом 30°. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол 60°. Найти объем пирамиды.

Answer 1

На основе задания определяем:
- катет основания против угла 30 градусов равен 4*(1/2) = 2 см,
- второй катет равен 4*cos 30° = = 4*(√3/2) = 2√3 см.
Площадь основания Sо = (1/2)*2*2√3 = 2√3 см².
Полупериметр основания р = (2+2√3+4)/2  = 3+√3 см.
Радиус вписанной окружности r = So/p = 2√3/(3+√3) см.
Так как угол наклона боковых граней к основанию одинаков (по 60°), то проекции всех высот боковых граней - это и есть радиус вписанной окружности.
Тогда высота пирамиды H = r*tg 60° = (2√3/(3+√3))*√3 = 6/(3+√3) см.

Получаем ответ:
V = (1/3)SoH = (1/3)*(2√3)*(6/(3+√3)) = (4√3)/(3+√3) ≈  1,4641016 см³.

Answer 2

Для нахождения объема пирамиды, основание которой представляет собой прямоугольный треугольник, нужно знать площадь основания и высоту пирамиды.

Дано:

1. Гипотенуза прямоугольного треугольника (основания пирамиды) = 4 см.
2. Острый угол прямоугольного треугольника (между гипотенузой и одним из катетов) = 30°.
3. Угол между боковым ребром пирамиды и плоскостью основания = 60°.

Первым делом, найдем длины катетов прямоугольного треугольника (основания пирамиды).

Для этого, зная гипотенузу и угол, используем тригонометрические соотношения: $\text{Катет} = \text{Гипотенуза} \times \sin(\text{Острый угол})$

$\text{Катет} = 4 \times \sin(30^\circ) = 4 \times \frac{1}{2} = 2 \text{ см}$

Теперь найдем площадь прямоугольного треугольника (основания пирамиды).

$\text{Площадь} = \frac{\text{Катет} \times \text{Катет}}{2} = \frac{2 \times 2}{2} = 2 \text{ см}^2$

Теперь осталось найти высоту пирамиды.

Здесь у нас есть равнобедренный треугольник, образованный одним из боковых ребер пирамиды и плоскостью основания. Угол между боковым ребром пирамиды и плоскостью основания равен 60°, а два других угла равны 60° (поскольку треугольник равнобедренный).

Теперь у нас есть правильный треугольник, и мы знаем, что в правильном треугольнике высота делит основание пополам. Таким образом, высота равна половине катета основания.

$\text{Высота пирамиды} = \frac{\text{Катет}}{2} = \frac{2}{2} = 1 \text{ см}$

Теперь, чтобы найти объем пирамиды, мы можем использовать формулу:

$\text{Объем} = \frac{1}{3} \times \text{Площадь основания} \times \text{Высота}$

$\text{Объем} = \frac{1}{3} \times 2 \text{ см}^2 \times 1 \text{ см} = \frac{2}{3} \text{ см}^3$

Таким образом, объем пирамиды составляет $\frac{2}{3}$ кубических сантиметра.