Question

Знайдіть точки параболи, що є графіком функції y=x^2-2x-4, у яких абсциси і ординати рівні між собою.

Answer 1

Потрібно знайти точки, у яких х=у і ці точки належать графіку, тобто задовольняють його рівняння, значить у рівняння параболи замість у підставимо х:
х=х²-2х-4
х²-2х-х-4=0
х²-3х-4=0
а+с=b
1-4=-3→х1=-1, х2=-с/а=4
отже у1=-1, у2=4
маємо дві точки
(-1;-1) і (4;4).

Answer 2

Щоб знайти точки параболи, в яких абсциси і ординати рівні між собою, потрібно розв'язати систему рівнянь, де x і y будуть рівні одне одному. Тобто, потрібно знайти такі значення x, при яких y = x.

1. Підставимо y = x у вираз для параболи:

x^2 - 2x - 4 = x

2. Перенесемо все у ліву частину, щоб отримати квадратне рівняння:

x^2 - 2x - 4 - x = 0

3. Спростимо рівняння:

x^2 - 3x - 4 = 0

4. Знайдемо корені цього квадратного рівняння. Можна використати квадратну формулу або розв'язати його графічно. Здійснимо розв'язання за допомогою квадратної формули:

Для рівняння вигляду ax^2 + bx + c = 0, де a ≠ 0:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

У нашому випадку a = 1, b = -3 і c = -4:

x = (3 ± √((-3)^2 - 4 * 1 * (-4))) / 2 * 1

x = (3 ± √(9 + 16)) / 2

x = (3 ± √25) / 2

x = (3 ± 5) / 2

Таким чином, маємо два значення x:

1. x = (3 + 5) / 2 = 8 / 2 = 4
2. x = (3 - 5) / 2 = -2 / 2 = -1

5. Тепер, щоб знайти відповідні значення y, підставимо x у вираз для параболи:

1. При x = 4:

y = 4^2 - 2 * 4 - 4 y = 16 - 8 - 4 y = 4

2. При x = -1:

y = (-1)^2 - 2 * (-1) - 4 y = 1 + 2 - 4 y = -1

Таким чином, дві точки параболи, у яких абсциси і ординати рівні між собою, є (4, 4) і (-1, -1).