Question

помогите решить Двое играют в следующую игру: берется натуральное число, первый игрок его утраивает, второй добавляет к результату 6060, затем действия повторяются (первый утраивает результат, второй добавляет 6060 и так далее). Выигравшим счиается тот игрок, который последний раз попал в отрезок [1,1000][1, 1000]. Найдите наименьшее число, при старте с которого выигрывает первый игрок

Answer 1

Пусть сделано 2k-1 ходов. Тогда последним сделал ход первый. Пусть они оба начинали с числа n. Тогда на 2k-1 ходу получилось число $3^{k}n+60\times3^{k-1}+60\times3^{k-2}+...+3\times 60$; Упростим это выражение с помощью формулы суммы геометрической прогрессии со знаменателем 3, имеем: $3^{k}n+60(\frac{3}{2}(3^{k-1}-1))=3^{k}n+90(3^{k-1}-1)$; Пусть это число оказалось равным A; То есть $3^{k}n+90(3^{k-1}-1)=A$;Общее решение этого уравнения:$k=\log_{3}(\frac{90+A}{90+3n})+1$; При этом будем стараться искать наименьшее значение n; Заметим, что знаменатель дроби в логарифме больше 90. Если результат k≥4, то числитель дроби в логарифме слишком большой. Больше 1000, а значит мы пропустили чей-то выигрыш. Тогда k=3; Результат 90+A должен быть таким, что ход второго (а это прибавление 60) выходил за интервал. То есть 90+A>1000-60+90=1030; Поскольку k=2, то 90+A=9(90+3n); Решим неравенство: 9(90+3n)>1030, откуда x>220/27, значит x≥9. Наименьшее значение n равно 9. В этом несложно убедиться. Ответ: 9

Answer 2

Давайте анализировать задачу. Когда первый игрок утраивает число, оно становится больше в 3 раза. Затем второй игрок добавляет к нему 6060. Давайте выразим это в виде формулы:

Пусть исходное число, с которого начинают игру, будет x.

1. Первый игрок утраивает число: 3x
2. Второй игрок добавляет 6060: 3x + 6060

Теперь, когда первый игрок утраивает результат последнего хода второго игрока, получим:

3. Первый игрок утраивает результат второго игрока: 3(3x + 6060) = 9x + 18180
4. Второй игрок добавляет 6060: 9x + 18180 + 6060 = 9x + 24240

Процесс повторяется. Теперь давайте попробуем найти наименьшее значение x, чтобы результат после ходов первого игрока (9x + 24240) попал в отрезок [1, 1000].

1 ≤ 9x + 24240 ≤ 1000

Вычтем 24240 из всех частей неравенства:

1 - 24240 ≤ 9x ≤ 1000 - 24240

-24239 ≤ 9x ≤ -23240

Теперь разделим все части неравенства на 9:

-2693.22 ≤ x ≤ -2582.22

Так как x должно быть натуральным числом, берем наименьшее натуральное число, которое больше -2582.22, и это будет искомое значение x:

x = -2582

Таким образом, наименьшее число, с которого выигрывает первый игрок, это -2582. Однако, учитывая, что в условии говорится о натуральном числе, оно не может быть отрицательным. Вероятно, в условии была ошибка, и поэтому задача не имеет решения среди натуральных чисел.