Question

основанием пирамиды SABCD является трапеция. Боковые грани SAD и SBC перпендикулярны плоскости основания. Вычислить объем пирамиды если AB=3 , CD=5 , а площади граней SAB и SCD равны соответственно 9 и 20.

Answer 1

В условии дана пирамида с трапецией в основании и двумя противоположными гранями, которые перпендикулярны основанию. Если противоположные грани, перпендикулярные основанию, будут проходить через параллельные стороны трапеции, то две другие боковые грани образуют сверху ребро, пирамида не получится

Итак, дана пирамида SABCD, в которой SM - высота;

АВ ║СD; AB = 3; CD = 5; (SAD)⊥(ABC); (SBC)⊥(ABC);

Площадь ΔSAB = 9; площадь ΔSCD = 20

ΔSAB : SK⊥AB - высота, тогда площадь

S₁ = SK*AB/2 = 9; SK = 9*2/AB = 18/3 = 6; SK = 6

ΔSCD : SN⊥CD - высота, тогда площадь

S₂ = SN*CD/2 = 20; SN = 20*2/CD = 40/5 = 8; SN = 8

AB║CD по условию ⇒ ∠MAB = ∠MDC как соответственные углы ⇒

ΔAMB~ΔDMC по двум углам : ∠MAB = ∠MDC и общему углу М ⇒

Отношение высот треугольников пропорционально отношению сторон:

MK/MN = AB/CD = 3/5; ⇒ MK = 0,6 MN

---------------------------------------------------------

ΔSNM : h² = SM² = SN² - MN² = 8² - MN²

ΔSKM : h² = SM² = SK² - MK² = 6² - (0,6 MN)²

6² - (0,6 MN)² = 8² - MN²

MN² - 0,36 MN² = 64 - 36

0,64 MN² = 28

MN² = 43,75

NK = MN - NK = MN - 0,6 MN = 0,4 MN = 0,4*√43,75

NK = √7

h² = SN² - MN² = 64 - 43,75 = 20,25 = 4,5²

h = 4,5

----------------------------------------------------------

Объем пирамиды

V = S₀*h/3 = ((AB + CD)*NK/2) * h /3 = 4√7 * 4,5 / 3 = 6√7

V = 6√7

Answer 2

Чтобы вычислить объем пирамиды, нужно знать высоту пирамиды. Для этого можно воспользоваться теоремой Пифагора и теоремой Пифагора для трапеции.

Обозначим вершины пирамиды следующим образом:

• S: вершина пирамиды
• A, B, C, D: вершины основания трапеции, где AB = 3 и CD = 5
• H: высота пирамиды

Из условия задачи известны площади граней SAB и SCD, которые равны 9 и 20 соответственно.

1. Найдем длину высоты H: Так как SAD и SBC являются перпендикулярными боковыми гранями к основанию ABCD, высота H будет перпендикулярна к плоскости ABCD. Она также будет высотой трапеции ABCD.

Площадь трапеции можно выразить через длину оснований и высоту по следующей формуле: Площадь трапеции (S_trap) = (AB + CD) * H / 2

Подставим известные значения: 9 + 20 = (3 + 5) * H / 2 29 = 8 * H / 2 29 = 4 * H H = 29 / 4 H = 7.25

Таким образом, высота пирамиды равна 7.25.

2. Теперь, когда у нас есть высота пирамиды, мы можем вычислить её объем. Объем пирамиды (V) можно найти по формуле:

V = (площадь основания * высота) / 3

Подставим известные значения: V = (площадь трапеции * высота) / 3 V = (9 + 20) * 7.25 / 3 V = 29 * 7.25 / 3 V = 210.25 / 3 V ≈ 70.08

Таким образом, объем пирамиды составляет около 70.08 кубических единиц (единицы длины возводятся в куб).