Question

Решить Помогите уравнение z^3 +8i=0

Answer 1

приравниваем переменную  в правую чать равенства

8i=-3x^2

разделим обе части на 8

i=-1/8z^3

Answer 2

Для решения уравнения z^3 + 8i = 0, давайте найдем значения z.

1. Приведем уравнение к каноническому виду z^3 = -8i: Для этого вычтем 8i из обеих сторон уравнения: z^3 = -8i

2. Теперь представим -8i в тригонометрической форме: -8i = 8(cos(π/2) + i*sin(π/2))

3. Теперь найдем значения z, используя формулу Муавра для возведения в степень в тригонометрической форме: Для данного уравнения, n = 3 (поскольку степень z равна 3).

   z = (rcos(θ) + ir*sin(θ))^1/3

   где r = |r| = 8 и θ = arg(r) = π/2

4. Найдем значения z:

   z1 = (8cos(π/6) + i8sin(π/6))^(1/3) (используем π/6, потому что π/2 / 3 = π/6) z1 = (8(√3/2) + i8(1/2))^(1/3) z1 = (4√3 + 4i)^(1/3)

   z2 = (8cos(5π/6) + i8sin(5π/6))^(1/3) (используем 5π/6, потому что 5π/6 = π/2 + π/6) z2 = (8(-√3/2) + i8(1/2))^(1/3) z2 = (-4√3 + 4i)^(1/3)

   z3 = (8cos(3π/2) + i8sin(3π/2))^(1/3) (используем 3π/2, потому что 3π/2 = π/2 + π/2) z3 = (80 + i8(-1))^(1/3) z3 = (-8i)^(1/3)

Таким образом, уравнение имеет три различных корня: z1 = (4√3 + 4i)^(1/3) z2 = (-4√3 + 4i)^(1/3) z3 = (-8i)^(1/3)

Обратите внимание, что в этом случае необходимо использовать тригонометрическую форму и формулу Муавра для нахождения корней.